1067. Постройте в одной системе координат графики функций y = x⁻¹, где x > 0, и y = x⁻², где x > 0. Сравните значения x⁻¹ и x⁻², если: a) 0 < x < 1; б) x > 1.

Построение графиков функций:

Мы строим графики двух функций на интервале x > 0:

• y = x⁻¹ = 1/x
• y = x⁻² = 1/x²

Обе функции являются гиперболами, расположенными в первой координатной четверти.

Сравнение значений x⁻¹ и x⁻²:

а) Если 0 < x < 1:

Возьмем пример: x = 0.5.

• x⁻¹ = (0.5)⁻¹ = 1 / 0.5 = 2
• x⁻² = (0.5)⁻² = 1 / (0.5)² = 1 / 0.25 = 4

В этом случае x⁻² > x⁻¹. Это происходит потому, что при возведении числа меньше 1 в степень, результат становится еще меньше. А при возведении в отрицательную степень (что эквивалентно делению на число в положительной степени) получается большее значение, если основание меньше 1. При возведении в еще большую отрицательную степень (x⁻²) результат становится еще больше.

Общее объяснение: Если 0 < x < 1, то x² < x. Следовательно, 1/x² > 1/x.

б) Если x > 1:

Возьмем пример: x = 2.

• x⁻¹ = 2⁻¹ = 1/2 = 0.5
• x⁻² = 2⁻² = 1/2² = 1/4 = 0.25

В этом случае x⁻¹ > x⁻². Это происходит потому, что при возведении числа больше 1 в степень, результат увеличивается. При возведении в еще большую положительную степень (x⁻²) результат будет меньше.

Общее объяснение: Если x > 1, то x² > x. Следовательно, 1/x² < 1/x.

Ответ:

• а) Если 0 < x < 1, то x⁻² > x⁻¹.
• б) Если x > 1, то x⁻¹ > x⁻².