1064. Докажите, что прямая y = -x + l, где l — некоторое положительное число, и гипербола y = x⁻¹: а) имеют две общие точки, если l > 2; б) имеют одну общую точку, если l = 2; в) не имеют общих точек, если l < 2.

Решение:

Для того чтобы найти точки пересечения прямой и гиперболы, нужно приравнять их уравнения:

• \[ -x + l = x^{-1} \]

Умножим обе части уравнения на x (поскольку x ≠ 0 для гиперболы):

• \[ -x^2 + lx = 1 \]

Перенесем все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

• \[ x^2 - lx + 1 = 0 \]

Число точек пересечения зависит от дискриминанта этого квадратного уравнения. Формула дискриминанта: D = b² - 4ac, где a=1, b=-l, c=1.

• \[ D = (-l)^2 - 4 × 1 × 1 = l^2 - 4 \]

Теперь рассмотрим три случая, как указано в условии:

1. а) Две общие точки, если l > 2

   Если l > 2, то l² > 4, следовательно, l² - 4 > 0. Дискриминант D > 0, что означает наличие двух различных действительных корней уравнения. Это соответствует двум точкам пересечения.

2. б) Одна общая точка, если l = 2

   Если l = 2, то l² = 4, следовательно, l² - 4 = 0. Дискриминант D = 0, что означает наличие одного действительного корня уравнения (или два совпадающих корня). Это соответствует одной точке пересечения (касанию).

3. в) Нет общих точек, если l < 2

   Если l < 2 (и l > 0, по условию), то l² < 4, следовательно, l² - 4 < 0. Дискриминант D < 0, что означает отсутствие действительных корней уравнения. Это соответствует отсутствию точек пересечения.

Таким образом, утверждения доказаны.