1065. Постройте график функции y = {x, если x ≤ 0, x⁻¹, если x > 0. Найдите: а) значение y, если x = -2; 2; б) значение x, при котором y = -4; 4.

Построение графика функции:

Функция задана кусочно:

• При x ≤ 0, y = x. Это луч прямой, проходящий через начало координат с угловым коэффициентом 1. Для x=0, y=0; для x=-2, y=-2.
• При x > 0, y = x⁻¹ = 1/x. Это ветвь гиперболы, расположенная в первой четверти. При x, стремящемся к 0 справа, y стремится к +∞. При x, стремящемся к +∞, y стремится к 0 справа.

а) Найдите значение y, если x = -2; 2:

• Если x = -2 (что меньше 0), то используем первую часть функции: y = x = -2.
• Если x = 2 (что больше 0), то используем вторую часть функции: y = x⁻¹ = 1/2 = 0.5.

б) Найдите значение x, при котором y = -4; 4:

• Если y = -4:

  Так как y = -4 (отрицательное значение), то это может быть только в первой части функции, где x ≤ 0. Приравниваем y = x:

  • \[ x = -4 \]

  Это значение x = -4 удовлетворяет условию x ≤ 0.

• Если y = 4:

  Здесь возможны два варианта:

  1. Первая часть функции: y = x (где x ≤ 0). Если y = 4, то x = 4. Но это противоречит условию x ≤ 0. Значит, в этой области нет решения.
  2. Вторая часть функции: y = x⁻¹ (где x > 0). Если y = 4, то x⁻¹ = 4. Следовательно, 1/x = 4, откуда x = 1/4 = 0.25. Это значение x = 0.25 удовлетворяет условию x > 0.

Ответ:

• а) y = -2 при x = -2; y = 0.5 при x = 2.
• б) x = -4 при y = -4; x = 0.25 при y = 4.