10. Тип З № 82 i Найдите значение выражения 244 32.83.

Решение:

Для нахождения значения выражения упростим числитель и знаменатель, используя свойства степеней.

1. Разложим числа в числителе и знаменателе на простые множители:
• \( 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 \)
• \( 32 = 2^5 \)
• \( 8 = 2^3 \)
2. Подставим разложения в выражение: \( \frac{(3 \cdot 2^3)^4}{2^5 \cdot (2^3)^3} \)
3. Применим свойства степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) в числителе и знаменателе: \( \frac{3^4 \cdot (2^3)^4}{2^5 \cdot 2^9} = \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{2^5 \cdot 2^9} \)
4. Применим свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в знаменателе: \( \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{2^{5+9}} = \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{2^{14}} \)
5. Применим свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \): \( 3^4 \cdot 2^{12-14} = 3^4 \cdot 2^{-2} \)
6. Перепишем отрицательную степень: \( \frac{3^4}{2^2} \)
7. Вычислим значения: \( \frac{81}{4} \)

Ответ: \(\frac{81}{4}\)