10. Решите уравнение $$ \frac{1}{(x-2)^2} - \frac{1}{x-2} - 6 = 0 $$

Решение:

Это биквадратное уравнение относительно $$ \frac{1}{x-2} $$. Сделаем замену переменной.

Пусть $$ y = \frac{1}{x-2} $$. Тогда уравнение примет вид:

$$ y^2 - y - 6 = 0 $$

Решим это квадратное уравнение относительно $$y$$. Найдем дискриминант:

$$ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4(1)(-6) = 1 + 24 = 25 $$

Найдем корни $$y$$:

$$ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3 $$ $$ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2(1)} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$

Теперь вернёмся к исходной переменной $$x$$, подставив найденные значения $$y$$.

Случай 1: $$ y = 3 $$

$$ \frac{1}{x-2} = 3 $$ $$ 1 = 3(x-2) $$ $$ 1 = 3x - 6 $$ $$ 3x = 7 $$ $$ x = \frac{7}{3} $$

Случай 2: $$ y = -2 $$

$$ \frac{1}{x-2} = -2 $$ $$ 1 = -2(x-2) $$ $$ 1 = -2x + 4 $$ $$ 2x = 3 $$ $$ x = \frac{3}{2} $$

Проверка: Оба значения $$x$$ не равны 2, поэтому знаменатель не обращается в ноль.

Ответ: $$ x = \frac{7}{3}, x = \frac{3}{2} $$