10. Найдите значение выражения \( \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} \).

Решение:

Упростим выражение, разложив основания степеней на простые множители:

• \( 24 = 3 \cdot 8 = 3 \cdot 2^3 \)
• \( 8 = 2^3 \)

Подставим эти разложения в исходное выражение:

\[ \frac{24^4}{3^2 \cdot 8^3} = \frac{(3 \cdot 2^3)^4}{3^2 \cdot (2^3)^3} \]

Применим свойства степеней \( (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n \) и \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \):

\[ = \frac{3^4 \cdot (2^3)^4}{3^2 \cdot 2^{3 \cdot 3}} = \frac{3^4 \cdot 2^{12}}{3^2 \cdot 2^9} \]

Теперь применим свойство степеней \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):

\[ = 3^{4-2} \cdot 2^{12-9} = 3^2 \cdot 2^3 \]

Вычислим значения степеней:

\[ = 9 \cdot 8 = 72 \]

Ответ: 72