10. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 208 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение:

Пусть \(v\) — собственная скорость катера (км/ч).

Скорость течения реки \(v_{теч} = 5\) км/ч.

Расстояние между пунктами А и В \(S = 208\) км.

1. Скорость катера по течению (из А в В): \(v_{по}\) = \(v + v_{теч}\) = \(v + 5\) км/ч.
2. Время движения из А в В: \(t_{АВ} = \frac{S}{v_{по}} = \frac{208}{v + 5}\) часов.
3. Скорость катера против течения (из В в А): \(v_{против}\) = \(v - v_{теч}\) = \(v - 5\) км/ч. (Так как катер вернулся, его собственная скорость больше скорости течения, \(v > 5\)).
4. Время движения из В в А: \(t_{ВА} = \frac{S}{v_{против}} = \frac{208}{v - 5}\) часов.
5. По условию, на обратный путь было затрачено на 5 часов меньше: \(t_{ВА} = t_{АВ} - 5\).
6. Подставим выражения для времени: \(\frac{208}{v - 5} = \frac{208}{v + 5} - 5\).
7. Приведем к общему знаменателю (уравнение для \(v\), где \(v \neq 5\) и \(v \neq -5\)):

\(\frac{208}{v - 5} - \frac{208}{v + 5} = -5\)

\(\frac{208(v + 5) - 208(v - 5)}{(v - 5)(v + 5)} = -5\)

\(\frac{208v + 1040 - 208v + 1040}{v^2 - 25} = -5\)

\(\frac{2080}{v^2 - 25} = -5\)

\(2080 = -5(v^2 - 25)\)

\(2080 = -5v^2 + 125\)

\(5v^2 = 125 - 2080\)

\(5v^2 = -1955\)

\(v^2 = -391\)

Ошибка в условии задачи или в моих расчетах, так как квадрат скорости не может быть отрицательным. Проверим условие.

Перечитаем условие: «затратив на обратный путь на 5 часов меньше». Это значит, что обратный путь (против течения) занял БОЛЬШЕ времени.

Исправляем: \(t_{ВА} = t_{АВ} + 5\).

\(\frac{208}{v - 5} = \frac{208}{v + 5} + 5\)

\(\frac{208}{v - 5} - \frac{208}{v + 5} = 5\)

\(\frac{208(v + 5) - 208(v - 5)}{(v - 5)(v + 5)} = 5\)

\(\frac{2080}{v^2 - 25} = 5\)

\(2080 = 5(v^2 - 25)\)

\(2080 = 5v^2 - 125\)

\(5v^2 = 2080 + 125\)

\(5v^2 = 2205\)

\(v^2 = \frac{2205}{5} = 441\)

\(v = \sqrt{441} = 21\) км/ч.

Проверим: \(v = 21\) км/ч. \(v > 5\), что удовлетворяет условию.

Скорость по течению: \(21 + 5 = 26\) км/ч.

Время из А в В: \(\frac{208}{26} = 8\) часов.

Скорость против течения: \(21 - 5 = 16\) км/ч.

Время из В в А: \(\frac{208}{16} = 13\) часов.

Разница во времени: \(13 - 8 = 5\) часов. Условие выполнено.

Ответ: 21