10. Из пункта А в пункт В, расстояние между которыми равно 208 км, вышел катер. Дойдя до пункта В, он вернулся в пункт отправления, затратив на обратный путь на 5 часов меньше. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки равна 5 км/ч. Ответ дайте в км/ч. Запишите решение и ответ.

Решение:

Обозначим:

• \( S \) — расстояние между пунктами А и В, \( S = 208 \) км.
• \( v_к \) — собственная скорость катера (км/ч).
• \( v_т \) — скорость течения реки, \( v_т = 5 \) км/ч.
• \( t_1 \) — время движения из А в В.
• \( t_2 \) — время движения из В в А.

Скорость катера по течению (из А в В): \( v_1 = v_к + v_т = v_к + 5 \) км/ч.

Скорость катера против течения (из В в А): \( v_2 = v_к - v_т = v_к - 5 \) км/ч.

Время движения из А в В: \( t_1 = \frac{S}{v_1} = \frac{208}{v_к + 5} \).

Время движения из В в А: \( t_2 = \frac{S}{v_2} = \frac{208}{v_к - 5} \).

По условию, на обратный путь (из В в А) катер затратил на 5 часов меньше, то есть \( t_1 - t_2 = 5 \).

Подставим выражения для времени:

\[ \frac{208}{v_к + 5} - \frac{208}{v_к - 5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v_к + 5)(v_к - 5) \) для избавления от знаменателей:

\[ 208(v_к - 5) - 208(v_к + 5) = 5(v_к + 5)(v_к - 5) \]

Раскроем скобки:

\[ 208v_к - 1040 - 208v_к - 1040 = 5(v_к^2 - 25) \]

-2080 = 5v_к^2 - 125

Перенесём все члены в одну сторону:

\( 5v_к^2 - 125 + 2080 = 0 \)

\( 5v_к^2 + 1955 = 0 \)

\( v_к^2 + 391 = 0 \)

\( v_к^2 = -391 \)

Это уравнение не имеет действительных решений, так как квадрат числа не может быть отрицательным.

Проверим условие: «затратив на обратный путь на 5 часов меньше». Это означает, что время пути туда (с течением) меньше, чем время пути обратно (против течения). Значит, \( t_1 < t_2 \).

Правильное уравнение: \( t_2 - t_1 = 5 \).

\[ \frac{208}{v_к - 5} - \frac{208}{v_к + 5} = 5 \]

Умножим обе части уравнения на \( (v_к - 5)(v_к + 5) \):

\( 208(v_к + 5) - 208(v_к - 5) = 5(v_к - 5)(v_к + 5) \)

\( 208v_к + 1040 - 208v_к + 1040 = 5(v_к^2 - 25) \)

\( 2080 = 5v_к^2 - 125 \)

\( 5v_к^2 = 2080 + 125 \)

\( 5v_к^2 = 2205 \)

\( v_к^2 = \frac{2205}{5} \)

\( v_к^2 = 441 \)

\( v_к = \sqrt{441} \)

\( v_к = 21 \)

Собственная скорость катера должна быть больше скорости течения, \( 21 > 5 \), что выполняется.

Ответ: 21 км/ч