10) \(\frac{1}{\frac{1}{30} + \frac{1}{42}}\)

Решение:

Сначала выполним сложение дробей в знаменателе.

1. Найдем общий знаменатель для 30 и 42. Для этого найдем НОК(30, 42). Разложим числа на простые множители: \( 30 = 2 \cdot 3 \cdot 5 \), \( 42 = 2 \cdot 3 \cdot 7 \). НОК(30, 42) = \( 2 \cdot 3 \cdot 5 \cdot 7 = 210 \).
2. Приведем дроби к общему знаменателю 210: \( \frac{1}{30} = \frac{1 \cdot 7}{30 \cdot 7} = \frac{7}{210} \); \( \frac{1}{42} = \frac{1 \cdot 5}{42 \cdot 5} = \frac{5}{210} \).
3. Сложим дроби в знаменателе: \( \frac{7}{210} + \frac{5}{210} = \frac{7 + 5}{210} = \frac{12}{210} \).
4. Теперь найдем обратную дробь к \( \frac{12}{210} \), то есть \( \frac{210}{12} \).
5. Сократим полученную дробь: \( \frac{210}{12} = \frac{210 \div 6}{12 \div 6} = \frac{35}{2} \).
6. Представим в виде смешанной дроби: \( \frac{35}{2} = 17 \frac{1}{2} \).

Ответ: \( 17 \frac{1}{2} \).