10. б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-3π; -π].

Решение:

Рассмотрим корни, найденные в пункте а): \( x = 2\pi n \) и \( x = \pm \arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \).

1. Корни вида \( x = 2\pi n \):

Нам нужно найти такие целые \( n \), чтобы \( -3\pi \le 2\pi n \le -\pi \).

Разделим все части на \( 2\pi \):

\[ -\frac{3}{2} \le n \le -\frac{1}{2} \]

Единственное целое число \( n \) в этом интервале — \( n = -1 \).

При \( n = -1 \), \( x = 2\pi (-1) = -2\pi \).

2. Корни вида \( x = \arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \):

Значение \( \arccos \left(\frac{1}{6}\right) \) положительное (так как \( \frac{1}{6} > 0 \) и \( \frac{1}{6} < 1 \)), поэтому \( \arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \) будет больше \( -\pi \) только при \( k=0 \) (получим \( \arccos \left(\frac{1}{6}\right) \), что больше \( -\pi \)), но это положительное число, а нам нужен отрезок \( [-3\pi; -\pi] \). Для отрицательных \( k \) значения будут меньше \( -3\pi \) или равны \( -2\pi \) + \( \arccos \left(\frac{1}{6}\right) \), что не попадает в отрезок.

3. Корни вида \( x = -\arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \):

Нам нужно найти такие целые \( k \), чтобы \( -3\pi \le -\arccos \left(\frac{1}{6}\right) + 2\pi k \le -\pi \).

Так как \( 0 < \frac{1}{6} < 1 \), то \( 0 < \arccos \left(\frac{1}{6}\right) < \frac{\pi}{2} \).

При \( k = -1 \):

\[ x = -\arccos \left(\frac{1}{6}\right) - 2\pi \]

Это значение находится в интервале \( (-2.5\pi, -2\pi) \), что попадает в отрезок \( [-3\pi; -\pi] \).

При \( k = -2 \):

\[ x = -\arccos \left(\frac{1}{6}\right) - 4\pi \]

Это значение меньше \( -3\pi \), поэтому не подходит.

Таким образом, корни, принадлежащие отрезку \( [-3\pi; -\pi] \), это \( -2\pi \) и \( -\arccos \left(\frac{1}{6}\right) - 2\pi \).

Ответ: \( -2\pi \) и \( -2\pi - \arccos \left(\frac{1}{6}\right) \)