1) В основании прямой призмы лежит ромб с диагоналями, равными 5 и 12. Площадь ее поверхности равна 502. Найдите боковое ребро этой призмы.

Решение:

1. Найдём площадь основания призмы. Площадь ромба равна половине произведения его диагоналей: \[ S_{осн} = \frac{1}{2} d_1 d_2 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 12 = 30 \text{ ед.}^2 \]
2. Найдём периметр основания. Для этого сначала найдём сторону ромба. Диагонали ромба делятся пополам и перпендикулярны друг другу. Получаем прямоугольный треугольник с катетами \( \frac{5}{2} \) и \( \frac{12}{2} = 6 \). По теореме Пифагора, сторона ромба \( a \) равна: \[ a^2 = \left(\frac{5}{2}\right)^2 + 6^2 = \frac{25}{4} + 36 = \frac{25 + 144}{4} = \frac{169}{4} \] \[ a = \sqrt{\frac{169}{4}} = \frac{13}{2} = 6.5 \text{ ед.} \] Периметр ромба: \( P = 4a = 4 \cdot 6.5 = 26 \text{ ед.} \)
3. Площадь боковой поверхности призмы равна произведению периметра основания на высоту (боковое ребро): \( S_{бок} = P \cdot h \).
4. Площадь полной поверхности призмы равна сумме площадей двух оснований и площади боковой поверхности: \( S_{полн} = 2 S_{осн} + S_{бок} \).
5. Найдём площадь боковой поверхности: \( S_{бок} = S_{полн} - 2 S_{осн} = 502 - 2 \cdot 30 = 502 - 60 = 442 \text{ ед.}^2 \).
6. Теперь найдём боковое ребро (высоту призмы): \( h = \frac{S_{бок}}{P} = \frac{442}{26} = 17 \text{ ед.} \)

Ответ: 17.