1.Свойства логарифмов. 2.Симметрия в пространстве. 3. Найти точки экстремума для функции: у = х⁴ - 2x² + 2.

Решение:

1. Свойства логарифмов:
   • \( \log_a (b \cdot c) = \log_a b + \log_a c \)
   • \( \log_a \frac{b}{c} = \log_a b - \log_a c \)
   • \( \log_a b^p = p \log_a b \)
   • \( \log_a a = 1 \)
   • \( \log_a 1 = 0 \)
   • \( a^{\log_a b} = b \) (основное логарифмическое тождество)
   • \( \log_{a^k} b = \frac{1}{k} \log_a b \)
   • \( \log_{a^k} b^p = \frac{p}{k} \log_a b \)
   • Формула перехода к новому основанию: \( \log_a b = \frac{\log_c b}{\log_c a} \)
2. Симметрия в пространстве:
   • Центр симметрии: Точка, относительно которой каждая точка фигуры имеет симметричную ей точку.
   • Ось симметрии: Прямая, относительно которой фигура обладает осевой симметрией (при отражении относительно оси фигура совпадает сама с собой).
   • Плоскость симметрии: Плоскость, относительно которой фигура обладает зеркальной симметрией.
3. Найти точки экстремума для функции: \( y = x^4 - 2x^2 + 2 \).
   Найдем производную функции:
   \[ y' = (x^4 - 2x^2 + 2)' = 4x^3 - 4x \]
   Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:
   \[ 4x^3 - 4x = 0 \]
   \[ 4x(x^2 - 1) = 0 \]
   \[ 4x(x - 1)(x + 1) = 0 \]
   Критические точки: \( x_1 = 0, x_2 = 1, x_3 = -1 \).
   Исследуем знак производной на интервалах:
   
   • При \( x < -1 \), например \( x = -2 \): \( y' = 4(-2)((-2)^2 - 1) = -8(4 - 1) = -8 · 3 = -24 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( -1 < x < 0 \), например \( x = -0.5 \): \( y' = 4(-0.5)((-0.5)^2 - 1) = -2(0.25 - 1) = -2(-0.75) = 1.5 > 0 \) (функция возрастает).
   • При \( 0 < x < 1 \), например \( x = 0.5 \): \( y' = 4(0.5)((0.5)^2 - 1) = 2(0.25 - 1) = 2(-0.75) = -1.5 < 0 \) (функция убывает).
   • При \( x > 1 \), например \( x = 2 \): \( y' = 4(2)(2^2 - 1) = 8(4 - 1) = 8 · 3 = 24 > 0 \) (функция возрастает).

   Точки минимума: \( x = -1 \) и \( x = 1 \) (производная меняет знак с минуса на плюс).

   Точка максимума: \( x = 0 \) (производная меняет знак с плюса на минус).

   Найдем значения функции в этих точках:

   При \( x = -1 \): \( y = (-1)^4 - 2(-1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \).

   При \( x = 1 \): \( y = (1)^4 - 2(1)^2 + 2 = 1 - 2 + 2 = 1 \).

   При \( x = 0 \): \( y = (0)^4 - 2(0)^2 + 2 = 0 - 0 + 2 = 2 \).

Ответ: точки минимума: \( x = \pm 1 \) (значение функции \( y = 1 \)); точка максимума: \( x = 0 \) (значение функции \( y = 2 \)).