1) Сторона квадрата лежит на стороне АВ. Радиус окружности равен 6,5. Найдите АС, если ВС=5

Решение:

Дан прямоугольный треугольник ABC. По теореме Пифагора находим длину гипотенузы AC:

\( AC^2 = AB^2 + BC^2 \)

Из условия задачи известно, что радиус описанной окружности равен 6,5. Радиус описанной окружности прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы.

\( R = \frac{AC}{2} \)

\( 6.5 = \frac{AC}{2} \)

\( AC = 6.5 \times 2 = 13 \)

Теперь подставим значение AC в теорему Пифагора, чтобы найти AB:

\( 13^2 = AB^2 + 5^2 \)

\( 169 = AB^2 + 25 \)

\( AB^2 = 169 - 25 \)

\( AB^2 = 144 \)

\( AB = \sqrt{144} \)

\( AB = 12 \)

Ответ: AC = 13.