1.По графику проекции скорости мотоциклиста, движущегося вдоль оси х, изображенного на рисунке, запишите уравнения зависимости проекции скорости vx(t) и координаты х (t) от времени на каждом участке движения. Считайте, что хо = 0.

Решение:

На графике представлены три участка движения мотоциклиста.

Участок 1: от t = 0 до t = 2 с (отрезок OA)

Скорость изменяется линейно от 0 до 4 м/с. Уравнение скорости:

\( v_x(t) = kt + b \)

При \( t = 0 \), \( v_x = 0 \) \(\implies\) \( b = 0 \).

При \( t = 2 \), \( v_x = 4 \) \(\implies\) \( 4 = 2k \) \(\implies\) \( k = 2 \) м/с².

Уравнение скорости: \( v_x(t) = 2t \) м/с.

Уравнение координаты:

\( x(t) = \int v_x(t) dt = \int 2t dt = t^2 + C \)

При \( t = 0 \), \( x = 0 \) \(\implies\) \( C = 0 \).

Уравнение координаты: \( x(t) = t^2 \) м.

Участок 2: от t = 2 до t = 3 с (отрезок AB)

Скорость постоянна и равна 4 м/с.

Уравнение скорости: \( v_x(t) = 4 \) м/с.

Уравнение координаты:

\( x(t) = \int v_x(t) dt = \int 4 dt = 4t + C \)

При \( t = 2 \), \( x(2) = 2^2 = 4 \) м. Значение \( x(2) \) находим из предыдущего участка.

\( 4 = 4 \cdot 2 + C \) \(\implies\) \( 4 = 8 + C \) \(\implies\) \( C = -4 \).

Уравнение координаты: \( x(t) = 4t - 4 \) м.

Участок 3: от t = 3 до t = 4 с (отрезок BN)

Скорость изменяется линейно от 4 до 0 м/с.

Уравнение скорости:

\( v_x(t) = kt + b \)

При \( t = 3 \), \( v_x = 4 \) \(\implies\) \( 4 = 3k + b \).

При \( t = 4 \), \( v_x = 0 \) \(\implies\) \( 0 = 4k + b \) \(\implies\) \( b = -4k \).

Подставляем \( b \) в первое уравнение: \( 4 = 3k - 4k \) \(\implies\) \( 4 = -k \) \(\implies\) \( k = -4 \) м/с².

\( b = -4 \cdot (-4) = 16 \).

Уравнение скорости: \( v_x(t) = -4t + 16 \) м/с.

Уравнение координаты:

\( x(t) = \int v_x(t) dt = \int (-4t + 16) dt = -2t^2 + 16t + C \)

При \( t = 3 \), \( x(3) = 4 \cdot 3 - 4 = 12 - 4 = 8 \) м.

\( 8 = -2 \cdot 3^2 + 16 \cdot 3 + C \) \(\implies\) \( 8 = -18 + 48 + C \) \(\implies\) \( 8 = 30 + C \) \(\implies\) \( C = -22 \).

Уравнение координаты: \( x(t) = -2t^2 + 16t - 22 \) м.

Ответ:

1. Для \( 0 \le t \le 2 \): \( v_x(t) = 2t \), \( x(t) = t^2 \).

2. Для \( 2 \le t \le 3 \): \( v_x(t) = 4 \), \( x(t) = 4t - 4 \).

3. Для \( 3 \le t \le 4 \): \( v_x(t) = -4t + 16 \), \( x(t) = -2t^2 + 16t - 22 \).