1. Определение трапеции, её виды. Признаки равнобедренной трапеции. Площадь трапеции. 2. В треугольнике АВС отрезок DE — средняя линия. Площадь треугольника CDE равна 97. Найдите площадь треугольника АВС.

Решение:

1. Определение трапеции. Трапеция — это четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.

Виды трапеций:

• Прямоугольная трапеция: у которой один из боковых углов прямой (прилегает к одному из оснований).
• Равнобедренная (равнобокая) трапеция: у которой боковые стороны равны.
• Обычная (произвольная) трапеция: не являющаяся ни прямоугольной, ни равнобедренной.

Признаки равнобедренной трапеции:

• Боковые стороны равны.
• Углы при каждом основании равны.
• Диагонали равны.

Площадь трапеции: Вычисляется по формуле \( S = \frac{a+b}{2}h \), где \( a \) и \( b \) — длины оснований трапеции, \( h \) — высота трапеции.

2. Нахождение площади треугольника АВС.

Дано: \( \triangle ABC \). DE — средняя линия. \( S_{CDE} = 97 \).

Найти: \( S_{ABC} \).

Решение:

1. Средняя линия \( DE \) соединяет середины сторон AC и BC. По определению средней линии, \( DE \parallel AB \) и \( DE = \frac{1}{2}AB \).
2. \( \triangle CDE \) подобен \( \triangle CAB \) по двум углам: \( \angle C \) — общий, \( \angle CDE = \angle CAB \) (как соответственные при \( DE \parallel AB \) и секущей AC).
3. Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия \( k = \frac{DE}{AB} = \frac{1}{2} \).
4. Следовательно, \( \frac{S_{CDE}}{S_{CAB}} = k^2 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4} \).
5. \( S_{CAB} = 4 \cdot S_{CDE} = 4 \cdot 97 = 388 \).
6. \( S_{ABC} \) — это то же самое, что \( S_{CAB} \).

Ответ: 388.