1. Определение подобных треугольников. Признаки подобия треугольников. Свойство биссектрисы угла. 2. Найдите площадь прямоугольника, если его периметр равен 60, а отношение соседних сторон равно 4:11.

Решение:

1. Определение подобных треугольников. Два треугольника называются подобными, если их соответствующие углы равны и соответствующие стороны пропорциональны.

Признаки подобия треугольников:

• По двум углам: Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны.
• По двум сторонам и углу между ними: Если две стороны одного треугольника пропорциональны двум сторонам другого треугольника, а углы между этими сторонами равны, то такие треугольники подобны.
• По трём сторонам: Если три стороны одного треугольника пропорциональны трём сторонам другого треугольника, то такие треугольники подобны.

Свойство биссектрисы угла: Биссектриса угла треугольника делит противолежащую сторону на два отрезка, пропорциональных прилежащим сторонам.

2. Нахождение площади прямоугольника.

Дано: Прямоугольник. Периметр \( P = 60 \). Отношение соседних сторон \( a:b = 4:11 \).

Найти: Площадь \( S \) прямоугольника.

Решение:

1. Пусть \( a \) и \( b \) — длины соседних сторон прямоугольника.
2. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле: \( P = 2(a+b) \).
3. \( 60 = 2(a+b) \) \( \implies a+b = 30 \).
4. По условию, \( a:b = 4:11 \). Пусть \( a = 4x \) и \( b = 11x \) для некоторого \( x \).
5. Подставим в уравнение суммы сторон: \( 4x + 11x = 30 \) \( \implies 15x = 30 \) \( \implies x = 2 \).
6. Найдём длины сторон: \( a = 4x = 4 \cdot 2 = 8 \), \( b = 11x = 11 \cdot 2 = 22 \).
7. Площадь прямоугольника вычисляется по формуле: \( S = a \cdot b \).
8. \( S = 8 \cdot 22 = 176 \).

Ответ: 176.