1. Определение прямоугольника. Признаки прямоугольника. Площадь прямоугольника. 2. Отрезок AB = 40 касается окружности радиуса 75 с центром О в точке В. Окружность пересекает отрезок АО в точке D. Найдите AD.

Решение:

1. Определение прямоугольника. Прямоугольник — это четырёхугольник, у которого все углы прямые (равны 90°).

Признаки прямоугольника:

• Параллелограмм, у которого один угол прямой.
• Параллелограмм, у которого диагонали равны.

Площадь прямоугольника: Вычисляется как произведение его смежных сторон: \( S = a \cdot b \), где \( a \) и \( b \) — длины смежных сторон прямоугольника.

2. Нахождение отрезка AD.

Дано: Окружность с центром О, радиус \( R = 75 \). Точка В лежит на окружности. Отрезок AB = 40. Отрезок AB касается окружности в точке В. Точка D лежит на отрезке АО и на окружности.

Найти: Длину отрезка AD.

Решение:

1. Так как отрезок AB касается окружности в точке B, то радиус OB перпендикулярен касательной AB. Следовательно, \( \angle ABO = 90^\circ \).
2. Рассмотрим прямоугольный треугольник \( \triangle ABO \). По теореме Пифагора: \( AO^2 = AB^2 + BO^2 \).
3. BO — радиус окружности, поэтому \( BO = 75 \). AB = 40.
4. \( AO^2 = 40^2 + 75^2 = 1600 + 5625 = 7225 \).
5. \( AO = \sqrt{7225} = 85 \).
6. Точка D лежит на отрезке АО и на окружности. Следовательно, OD — радиус окружности, \( OD = 75 \).
7. AD = AO - OD = 85 - 75 = 10.

Ответ: 10.