1.4. При каких натуральных п и т верно равенство

Решение:

а) НОК(\(\text{п},\) 20) = 2\(\text{п}\)?

НОК двух чисел равно одному из них, если второе число является делителем первого. В данном случае, \( \text{НОК}(\(\text{п},\) 20) = 2\(\text{п}\) \). Это возможно, если 20 является делителем \( 2\(\text{п}\) \), и \( 2\(\text{п}\) \) является кратным 20. Или, проще говоря, \( p \) должно быть кратно 10. Тогда \( p = 10k \).

\( \text{НОК}(10k, 20) = 2(10k) = 20k \).

Если \( k = 1 \), \( p = 10 \). \( \text{НОК}(10, 20) = 20 \). \( 2p = 20 \). Верно.

Если \( k = 2 \), \( p = 20 \). \( \text{НОК}(20, 20) = 20 \). \( 2p = 40 \). Неверно.

Если \( p \) кратно 10, то \( p = 10, 20, 30, ... \).

\( \text{НОК}(10, 20) = 20 \), \( 2 \times 10 = 20 \). Верно.

\( \text{НОК}(20, 20) = 20 \), \( 2 \times 20 = 40 \). Неверно.

\( \text{НОК}(30, 20) = 60 \), \( 2 \times 30 = 60 \). Верно.

\( \text{НОК}(40, 20) = 40 \), \( 2 \times 40 = 80 \). Неверно.

\( \text{НОК}(50, 20) = 100 \), \( 2 \times 50 = 100 \). Верно.

Условие верно, когда \( p \) — число вида \( 10(2m-1) \), т.е. \( p = 10, 30, 50, ... \).

б) НОК(\(\text{п},\) 20) = 20?

Это верно, когда \( p \) является делителем 20. Натуральные делители 20: 1, 2, 4, 5, 10, 20. Значит \( p \) может быть любым из этих чисел.

в) НОД(\(\text{п},\) 66) = 22?

Это верно, когда \( p \) является кратным 22, и 66 является кратным \( p \). То есть \( p \) должно быть кратным 22, и \( p \) должно быть делителем 66. Наибольший общий делитель 66 и 22 — это 22. Следовательно, \( p \) должно быть кратно 22 и являться делителем 66. Единственное такое число — 22. Проверим: \( \text{НОД}(22, 66) = 22 \). Верно.

г) НОД(\(\text{п},\) \(\text{т}\)) · НОК(\(\text{п},\) \(\text{т}\)) = 1300 и число \(\text{п}\) больше числа \(\text{т}\) на 27?

Известно свойство: \( \text{НОД}(a, b) · \text{НОК}(a, b) = a · b \).

Следовательно, \( p · t = 1300 \).

Также дано \( p = t + 27 \).

Подставим второе уравнение в первое:

\( (t + 27) · t = 1300 \)

\( t^2 + 27t - 1300 = 0 \).

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = 27^2 - 4(1)(-1300) = 729 + 5200 = 5929 \).

\( √{D} = √{5929} = 77 \).

\( t_1 = \frac{-27 + 77}{2} = \frac{50}{2} = 25 \).

\( t_2 = \frac{-27 - 77}{2} = \frac{-104}{2} = -52 \).

Так как \( t \) — натуральное число, то \( t = 25 \).

Найдем \( p \):

\( p = t + 27 = 25 + 27 = 52 \).

Проверим: \( p · t = 52 \times 25 = 1300 \). Верно.

Ответ: а) \( p \) — натуральное число, кратное 10, такое, что \( \frac{p}{10} \) — нечетное число (т.е. \( p = 10, 30, 50, ... \)); б) \( p \) — любое натуральное число, являющееся делителем 20 (1, 2, 4, 5, 10, 20); в) \( p = 22 \); г) \( p = 52 \), \( t = 25 \).