1.2. Найдите все натуральные двузначные числа

Решение:

Пусть двузначное число имеет вид \( xy \), где \( x \) — цифра десятков, \( y \) — цифра единиц. Число можно записать как \( 10x + y \). Двузначное число означает, что \( x ∈ [1; 9] \), \( y ∈ [0; 9] \).

а) Произведение цифр которых равно 28:

\( x y = 28 \). Возможные пары цифр (\( x \), \( y \)): (4, 7) и (7, 4).

Числа: 47, 74.

б) Сумма цифр которых равна 16:

\( x + y = 16 \). Возможные пары цифр (\( x \), \( y \)): (7, 9), (8, 8), (9, 7).

Числа: 79, 88, 97.

в) Которые в 4 раза больше суммы своих цифр:

\( 10x + y = 4(x + y) \)

\( 10x + y = 4x + 4y \)

\( 6x = 3y \)

\( 2x = y \).

Подставляем возможные значения \( x \) от 1 до 9:

• Если \( x = 1 \), то \( y = 2 \). Число: 12.
• Если \( x = 2 \), то \( y = 4 \). Число: 24.
• Если \( x = 3 \), то \( y = 6 \). Число: 36.
• Если \( x = 4 \), то \( y = 8 \). Число: 48.

г) Произведение цифр которых в два раза меньше самого числа и сумма цифр искомого числа в два раза меньше произведения цифр этого числа:

Обозначим цифры: \( x \) — десятки, \( y \) — единицы.

Условия:

1. \( x y = \frac{1}{2}(10x + y) \)
2. \( x + y = \frac{1}{2}(x y) \)

Из первого уравнения:

\( 2x y = 10x + y \)

\( 2x y - y = 10x \)

\( y(2x - 1) = 10x \)

\( y = \frac{10x}{2x - 1} \).

Проверим возможные значения \( x \) от 1 до 9:

• Если \( x = 1 \), \( y = \frac{10}{1} = 10 \) (не цифра).
• Если \( x = 2 \), \( y = \frac{20}{3} \) (не целое).
• Если \( x = 3 \), \( y = \frac{30}{5} = 6 \). Получаем число 36.
• Если \( x = 4 \), \( y = \frac{40}{7} \) (не целое).
• Если \( x = 5 \), \( y = \frac{50}{9} \) (не целое).

Проверим число 36 по второму условию:

Сумма цифр: \( 3 + 6 = 9 \).

Произведение цифр: \( 3 \times 6 = 18 \).

\( 9 = \frac{1}{2}(18) \). Второе условие выполняется.

Число: 36.

Ответ: а) 47, 74; б) 79, 88, 97; в) 12, 24, 36, 48; г) 36.