1.1. Найдите все натуральные числа

Решение:

а) Вида \( 71x1y \), кратные 45:

Число кратно 45, если оно кратно 5 и 9.

1. Признак делимости на 5: последняя цифра \( y \) должна быть 0 или 5.
2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

Рассмотрим случаи:

Случай 1: \( y = 0 \)

Сумма цифр: \( 7 + 1 + x + 1 + 0 = 9 + x \). Чтобы сумма делилась на 9, \( x \) может быть 0 или 9.

Числа: 71010, 71910.

Случай 2: \( y = 5 \)

Сумма цифр: \( 7 + 1 + x + 1 + 5 = 14 + x \). Чтобы сумма делилась на 9, \( x \) должен быть 4 (так как \( 14 + 4 = 18 \)).

Число: 71415.

б) Вида \( 56x3y \), кратные 36:

Число кратно 36, если оно кратно 4 и 9.

1. Признак делимости на 4: число, образованное двумя последними цифрами (3y), должно делиться на 4. Возможные значения \( y \): 2 (32), 6 (36).
2. Признак делимости на 9: сумма цифр числа должна делиться на 9.

Случай 1: \( y = 2 \)

Сумма цифр: \( 5 + 6 + x + 3 + 2 = 16 + x \). Чтобы сумма делилась на 9, \( x \) должен быть 2 (так как \( 16 + 2 = 18 \)).

Число: 56232.

Случай 2: \( y = 6 \)

Сумма цифр: \( 5 + 6 + x + 3 + 6 = 20 + x \). Чтобы сумма делилась на 9, \( x \) должен быть 7 (так как \( 20 + 7 = 27 \)).

Число: 56736.

в) Которые при делении на 11 с остатком дают частное, равное 11:

Число \( N \) можно представить в виде \( N = 11 \times 11 + r \), где \( 0 ≤ r < 11 \).

\( N = 121 + r \).

Возможные числа: 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131.

г) Остаток от деления натурального числа \( n \) на 17 равен 8; остаток от деления \( n \) на 13 равен 7. Чему равен остаток от деления наименьшего из возможных \( n \) на 25?

По условию:

\( n ≡ 8 (\text{mod } 17) \)

\( n ≡ 7 (\text{mod } 13) \)

Из второго уравнения: \( n = 13k + 7 \).

Подставим в первое:

\( 13k + 7 ≡ 8 (\text{mod } 17) \)

\( 13k ≡ 1 (\text{mod } 17) \)

Умножим обе части на 4 (обратное число к 13 по модулю 17, так как \( 13 \times 4 = 52 = 3 \times 17 + 1 \)):

\( 52k ≡ 4 (\text{mod } 17) \)

\( k ≡ 4 (\text{mod } 17) \)

Значит, \( k = 17m + 4 \).

Подставим \( k \) в выражение для \( n \):

\( n = 13(17m + 4) + 7 \)

\( n = 221m + 52 + 7 \)

\( n = 221m + 59 \).

Наименьшее натуральное \( n \) получается при \( m=0 \), то есть \( n = 59 \).

Найдем остаток от деления 59 на 25:

\( 59 = 2 \times 25 + 9 \).

Остаток равен 9.

Ответ: а) 71010, 71910, 71415; б) 56232, 56736; в) 121, 122, 123, 124, 125, 126, 127, 128, 129, 130, 131; г) 9.