056.18. в) 5^x + 4 = 5^(2x+1);

Решение:

Перепишем уравнение:

\( 5^x + 4 = 5^{2x} \cdot 5^1 \)

\( 5^x + 4 = 5 \cdot (5^x)^2 \)

Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y + 4 = 5y^2 \)

\( 5y^2 - y - 4 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). Найдем дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 5 \cdot (-4) = 1 + 80 = 81 \]

Так как \( D > 0 \), уравнение имеет два корня.

Найдём корни по формуле:

\[ y_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 + 9}{10} = \frac{10}{10} = 1 \]

\[ y_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{81}}{2 \cdot 5} = \frac{1 - 9}{10} = \frac{-8}{10} = -\frac{4}{5} \]

Теперь вернёмся к замене \( y = 5^x \):

1) \( 5^x = 1 \) \( \implies \) \( 5^x = 5^0 \) \( \implies \) \( x = 0 \).

2) \( 5^x = -\frac{4}{5} \). Это уравнение не имеет решений, так как степень положительного числа всегда положительна.

Ответ: x = 0.