056.18. a) 2^x + 2^(1-x) = 3;

Решение:

Перепишем уравнение:

\( 2^x + 2^1 \cdot 2^{-x} = 3 \)

Пусть \( y = 2^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y + 2 \cdot \frac{1}{y} = 3 \)

Умножим обе части на \( y \) (при \( y \neq 0 \), что верно для \( 2^x \)):

\( y^2 + 2 = 3y \)

\( y^2 - 3y + 2 = 0 \)

Решим квадратное уравнение относительно \( y \). По теореме Виета:

\( y_1 + y_2 = 3 \)

\( y_1 \cdot y_2 = 2 \)

Следовательно, \( y_1 = 1 \) и \( y_2 = 2 \).

Теперь вернёмся к замене \( y = 2^x \):

1) \( 2^x = 1 \) \( \implies \) \( 2^x = 2^0 \) \( \implies \) \( x = 0 \).

2) \( 2^x = 2 \) \( \implies \) \( 2^x = 2^1 \) \( \implies \) \( x = 1 \).

Ответ: x = 0, x = 1.