056.18. б) 25^x - 50 = 5^(-x+1);

Решение:

Перепишем уравнение, используя свойства степеней:

\( (5^2)^x - 50 = 5^{-x} \cdot 5^1 \)

\( 5^{2x} - 50 = 5 \cdot 5^{-x} \)

\( (5^x)^2 - 50 = \frac{5}{5^x} \)

Пусть \( y = 5^x \). Тогда уравнение примет вид:

\( y^2 - 50 = \frac{5}{y} \)

Умножим обе части на \( y \) (при \( y \neq 0 \), что верно для \( 5^x \)):

\( y^3 - 50y = 5 \)

\( y^3 - 50y - 5 = 0 \)

Это кубическое уравнение. Попробуем найти целые корни, которые являются делителями свободного члена \(-5\): \( \pm 1, \pm 5 \).

Проверим \( y = 5 \): \( 5^3 - 50 \cdot 5 - 5 = 125 - 250 - 5 = -130 \neq 0 \).

Проверим \( y = -5 \): \( (-5)^3 - 50 \cdot (-5) - 5 = -125 + 250 - 5 = 120 \neq 0 \).

Проверим \( y = 1 \): \( 1^3 - 50 \cdot 1 - 5 = 1 - 50 - 5 = -54 \neq 0 \).

Проверим \( y = -1 \): \( (-1)^3 - 50 \cdot (-1) - 5 = -1 + 50 - 5 = 44 \neq 0 \).

К сожалению, целых корней нет. Возможно, в условии опечатка. Если бы уравнение было \( 25^x - 5 \cdot 5^x + 6 = 0 \), то мы бы получили \( y^2 - 5y + 6 = 0 \), \( (y-2)(y-3)=0 \), \( y=2 \) или \( y=3 \). Тогда \( 5^x = 2 \) \( \implies x = \log_5 2 \) и \( 5^x = 3 \) \( \implies x = \log_5 3 \).

Если предположить, что \( 50 \) на самом деле \( 5 \cdot 5^x \), то исходное уравнение могло быть \( 25^x - 5 \cdot 5^x = 5 \) или \( 25^x - 5 \cdot 5^x = 5 \cdot 5^x \) => \( y^2 - 5y = 5y \) => \( y^2 - 10y = 0 \) => \( y(y-10) = 0 \) => \( y=10 \) (так как \( y \neq 0 \)) => \( 5^x = 10 \) => \( x = \log_5 10 \).

Учитывая, что задание скорее всего предполагало более простое решение, и опираясь на структуру подобных задач, скорее всего, уравнение должно было быть:

\( 25^x - 5 \cdot 5^x - 6 = 0 \) или \( 25^x - 50 = 5 \cdot 5^{-x} \) (что не очень вероятно).

Если предположить, что \( 50 \) это \( 5 \cdot 5^x \), то:

\( 25^x - 5 \cdot 5^x = 5 \)

\( y^2 - 5y - 5 = 0 \)

\( y = \frac{5 \pm \sqrt{25 - 4(1)(-5)}}{2} = \frac{5 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{5 \pm 3\sqrt{5}}{2} \)

\( 5^x = \frac{5 + 3\sqrt{5}}{2} \) (положительное значение) \( \implies x = \log_5 \left(\frac{5 + 3\sqrt{5}}{2}\right) \).

Ввиду сложности полученного кубического уравнения и отсутствия очевидных целочисленных решений, предполагаем, что в условии задачи была опечатка. Невозможно дать чистовое решение без уточнения.