№ 3. В окружности с центром O проведены диаметр AB и хорды AC и AD так, что \(\angle BAC = \angle BAD\) (рис. 63). Докажите, что AC = AD.

Рассмотрим окружность с центром O, диаметром AB и хордами AC и AD, где \(\angle BAC = \angle BAD\). Требуется доказать, что AC = AD.

Доказательство:

1. Так как \(\angle BAC = \angle BAD\), то дуги BC и BD, на которые опираются эти углы, также равны (вписанные углы, опирающиеся на равные дуги, равны).
2. Если дуги BC и BD равны, то и хорды, стягивающие эти дуги, также равны. То есть, BC = BD.
3. Рассмотрим треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\). У них сторона AB – общая, BC = BD (доказано выше), и углы \(\angle BAC = \angle BAD\) (по условию).
4. Следовательно, треугольники \(\triangle ABC\) и \(\triangle ABD\) равны по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).
5. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон, то есть AC = AD.

Таким образом, мы доказали, что AC = AD.