23. ☆ У четырёхугольника ABCD рав- ны его углы А и В, а угол C равен 60°. Найдите угол D, если АВ = BC = CD.

23. Дано: четырехугольник ABCD, AB = BC = CD, $$\angle A = \angle B$$, $$\angle C = 60^\circ$$.

Найти: $$\angle D$$

Решение:

Продлим стороны AB и CD до пересечения в точке Е.

Получим треугольник EAD и EBC.

В треугольнике EBC стороны EB=BC, следовательно, данный треугольник равнобедренный.

Т.к. $$\angle C = 60^\circ$$, то углы при основании также равны 60 градусам, следовательно, треугольник равносторонний, ЕС=ВС=ВЕ=АВ=CD.

Примем $$\angle А = х$$, тогда $$\angle B = x$$.

Сумма углов четырехугольника равна 360°: $$\angle A + \angle B + \angle C + \angle D = 360^\circ$$

Тогда $$\angle D = 360^\circ - \angle A - \angle B - \angle C = 360^\circ - x - x - 60^\circ = 300^\circ - 2x$$.

Т.к. $$\angle E = 180^\circ - \angle A - \angle D = 180^\circ - x - (300^\circ - 2x) = 180^\circ - x - 300^\circ + 2x = x - 120^\circ$$.

Рассмотрим сумму углов при стороне АЕ:

$$\angle B + \angle E = 180^\circ$$

Тогда $$x + (x - 120^\circ) = 180^\circ$$, где

$$2x - 120^\circ = 180^\circ$$

$$2x = 180^\circ + 120^\circ = 300^\circ$$

$$x = \frac{300^\circ}{2} = 150^\circ$$

$$\angle D = 300^\circ - 2 \cdot 150^\circ = 300^\circ - 300^\circ = 0^\circ$$ (чего быть не может).

В условии задачи ошибка. Такого четырехугольника не существует.

Ответ: в условии задачи ошибка. Такого четырехугольника не существует.