19. ☆ Биссектриса угла при основа- нии равнобедренного треугольника об- разует с его боковой стороной угол 60°. Найдите углы треугольника, если он: а) остроугольный; б) тупоуголь- ный.

19. Дано: треугольник ABC, AB = BC, BD - биссектриса угла B, \(\angle DBC = 60^\circ\).

Найти: углы треугольника ABC.

Решение:

a) Треугольник ABC остроугольный. Так как BD - биссектриса угла B, то $$\angle ABC = 2 \cdot \angle DBC = 2 \cdot 60^\circ = 120^\circ$$. Но, по условию, треугольник ABC остроугольный, то есть все его углы должны быть меньше 90°. Получили противоречие, следовательно, остроугольный треугольник не может удовлетворять условиям задачи.

б) Треугольник ABC тупоугольный. $$\angle ABC = 120^\circ$$

Так как треугольник ABC равнобедренный, то углы при основании равны.

Сумма углов треугольника равна 180°:

$$\angle A + \angle B + \angle C = 180^\circ$$

$$\angle A = \angle C$$

$$\angle A + \angle C = 180^\circ - \angle B = 180^\circ - 120^\circ = 60^\circ$$

$$\angle A = \angle C = \frac{60^\circ}{2} = 30^\circ$$

Ответ: а) остроугольный треугольник не удовлетворяет условиям задачи; б) $$\angle A = \angle C = 30^\circ$$, $$\angle B = 120^\circ$$