18. ☆ Найдите угол между биссек- трисами острых углов любого прямо- угольного треугольника.

18. Пусть дан прямоугольный треугольник ABC, где угол C равен 90°. Пусть AL и BM – биссектрисы углов A и B соответственно.

Угол между биссектрисами AL и BM равен углу между прямыми AL и BM.

Рассмотрим треугольник ABK, где K – точка пересечения AL и BM. В этом треугольнике угол K и есть искомый угол между биссектрисами.

Сумма углов в треугольнике ABK равна 180°: $$\angle K + \angle BAK + \angle ABK = 180^\circ$$

Так как AL и BM – биссектрисы, то $$\angle BAK = \frac{1}{2} \angle A$$ и $$\angle ABK = \frac{1}{2} \angle B$$

Следовательно, $$\angle K = 180^\circ - \frac{1}{2} \angle A - \frac{1}{2} \angle B$$

Сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°: $$\angle A + \angle B = 90^\circ$$

Тогда $$\angle K = 180^\circ - \frac{1}{2} (\angle A + \angle B) = 180^\circ - \frac{1}{2} \cdot 90^\circ = 180^\circ - 45^\circ = 135^\circ$$

Угол между биссектрисами острых углов прямоугольного треугольника равен 135°.

Ответ: 135°