⑤В треугольнике две стороны равны 7 и 8, угол между этими сторонами 120°. Найдите третью сторону и площадь этого треугольника.

Дано: $$\triangle ABC$$, $$AB = 7$$, $$BC = 8$$, $$\angle B = 120^\circ$$. Найти: $$AC$$ и площадь $$\triangle ABC$$. Решение: По теореме косинусов: $$AC^2 = AB^2 + BC^2 - 2 \cdot AB \cdot BC \cdot cos(\angle B)$$ $$AC^2 = 7^2 + 8^2 - 2 \cdot 7 \cdot 8 \cdot cos(120^\circ) = 49 + 64 - 112 \cdot (-\frac{1}{2}) = 49 + 64 + 56 = 169$$ $$AC = \sqrt{169} = 13$$ Площадь треугольника: $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot BC \cdot sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 7 \cdot 8 \cdot sin(120^\circ) = 28 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 14\sqrt{3}$$ Ответ: $$AC = 13$$, $$S = 14\sqrt{3}$$