Задание 3*. Прямая, параллельная стороне АС треугольника АВС, пересекает стороны АВ и ВС в точках М и N соответственно, АС = 32, MN = 18. Площадь треугольника MBN равна 81. Найдите площадь треугольника АВС.

1. Рассмотрим треугольники MBN и ABC.

2. Угол B - общий.

3. \(\angle BMN = \angle BAC\) как соответственные углы при параллельных прямых MN и AC и секущей AB.

4. Следовательно, треугольники MBN и ABC подобны по двум углам (первый признак подобия треугольников).

5. Площади подобных треугольников относятся как квадрат коэффициента подобия: $$(\frac{S_{ABC}}{S_{MBN}} = k^2)$$.

6. Стороны подобных треугольников относятся как коэффициент подобия: $$(\frac{AC}{MN} = k)$$.

7. Найдем коэффициент подобия:

$$k = \frac{32}{18} = \frac{16}{9}$$

$$k^2 = (\frac{16}{9})^2 = \frac{256}{81}$$

8. Найдем площадь треугольника ABC:

$$S_{ABC} = S_{MBN} \cdot k^2 = 81 \cdot \frac{256}{81} = 256$$

Ответ: 256