Задание 9. Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – 0 баллов. Паша выигрывает с вероятностью 0,7. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Паша в двух партиях.

Решение:

Паша играет две партии. Вероятность выигрыша в одной партии P(выигрыш) = 0.7. Вероятность проигрыша P(проигрыш) = 1 - 0.7 = 0.3.

Случайная величина X - количество очков, набранных Пашей в двух партиях.

Возможные сценарии:

• Выигрыш-Выигрыш (ВВ): Очки: 1+1=2. Вероятность: 0.7 * 0.7 = 0.49
• Выигрыш-Проигрыш (ВП): Очки: 1+0=1. Вероятность: 0.7 * 0.3 = 0.21
• Проигрыш-Выигрыш (ПВ): Очки: 0+1=1. Вероятность: 0.3 * 0.7 = 0.21
• Проигрыш-Проигрыш (ПП): Очки: 0+0=0. Вероятность: 0.3 * 0.3 = 0.09

1. Ряд распределения:

Суммируем вероятности для одинакового количества очков:

• X=2 (ВВ): P(X=2) = 0.49
• X=1 (ВП, ПВ): P(X=1) = 0.21 + 0.21 = 0.42
• X=0 (ПП): P(X=0) = 0.09

Ряд распределения:

2. Математическое ожидание (E(X)):

E(X) = ∑ (X_i * P_i)

E(X) = (0 * 0.09) + (1 * 0.42) + (2 * 0.49)

E(X) = 0 + 0.42 + 0.98

E(X) = 1.4

3. Дисперсия (D(X)):

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Сначала найдем E(X^2):

E(X^2) = ∑ (X_i^2 * P_i)

E(X^2) = (0^2 * 0.09) + (1^2 * 0.42) + (2^2 * 0.49)

E(X^2) = (0 * 0.09) + (1 * 0.42) + (4 * 0.49)

E(X^2) = 0 + 0.42 + 1.96

E(X^2) = 2.38

Теперь вычислим D(X):

D(X) = 2.38 - (1.4)^2

D(X) = 2.38 - 1.96

D(X) = 0.42

4. Среднее квадратичное отклонение (σ(X)):

σ(X) = √ D(X)

σ(X) = √ 0.42

σ(X) ≈ 0.6481

Ответ:

• Ряд распределения представлен в таблице выше.
• Математическое ожидание: 1.4
• Дисперсия: 0.42
• Среднее квадратичное отклонение: ≈ 0.6481