Задание 10. Если игрок выиграет партию, он зарабатывает 1 балл, если проигрывает – -1 балл, а в случае ничьей – 0 баллов. Мила выигрывает с вероятностью 0,6, а проигрывает с вероятностью 0,1. Постройте ряд распределения и вычислите математическое ожидание, дисперсию и среднее квадратичное отклонение числа очков, которые может набрать Мила в двух партиях.

Решение:

Мила играет две партии. За каждую партию она может получить 1 балл (выигрыш), -1 балл (проигрыш) или 0 баллов (ничья).

Дано:

• P(выигрыш) = 0.6
• P(проигрыш) = 0.1
• P(ничья) = 1 - P(выигрыш) - P(проигрыш) = 1 - 0.6 - 0.1 = 0.3

Случайная величина X - общее количество очков, набранных Милой в двух партиях.

Возможные исходы и очки:

1. Сценарии для двух партий:

• Выигрыш-Выигрыш (ВВ): Очки: 1 + 1 = 2. Вероятность: 0.6 * 0.6 = 0.36
• Выигрыш-Ничья (ВН): Очки: 1 + 0 = 1. Вероятность: 0.6 * 0.3 = 0.18
• Ничья-Выигрыш (НВ): Очки: 0 + 1 = 1. Вероятность: 0.3 * 0.6 = 0.18
• Выигрыш-Проигрыш (ВП): Очки: 1 + (-1) = 0. Вероятность: 0.6 * 0.1 = 0.06
• Проигрыш-Выигрыш (ПВ): Очки: (-1) + 1 = 0. Вероятность: 0.1 * 0.6 = 0.06
• Ничья-Ничья (НН): Очки: 0 + 0 = 0. Вероятность: 0.3 * 0.3 = 0.09
• Ничья-Проигрыш (НП): Очки: 0 + (-1) = -1. Вероятность: 0.3 * 0.1 = 0.03
• Проигрыш-Ничья (ПН): Очки: (-1) + 0 = -1. Вероятность: 0.1 * 0.3 = 0.03
• Проигрыш-Проигрыш (ПП): Очки: (-1) + (-1) = -2. Вероятность: 0.1 * 0.1 = 0.01

2. Ряд распределения:

Суммируем вероятности для одинакового количества очков:

• X = 2 (ВВ): P(X=2) = 0.36
• X = 1 (ВН, НВ): P(X=1) = 0.18 + 0.18 = 0.36
• X = 0 (ВП, ПВ, НН): P(X=0) = 0.06 + 0.06 + 0.09 = 0.21
• X = -1 (НП, ПН): P(X=-1) = 0.03 + 0.03 = 0.06
• X = -2 (ПП): P(X=-2) = 0.01

Ряд распределения:

3. Математическое ожидание (E(X)):

E(X) = ∑ (X_i * P_i)

E(X) = (-2 * 0.01) + (-1 * 0.06) + (0 * 0.21) + (1 * 0.36) + (2 * 0.36)

E(X) = -0.02 - 0.06 + 0 + 0.36 + 0.72

E(X) = 1.00

4. Дисперсия (D(X)):

D(X) = E(X^2) - (E(X))^2

Сначала найдем E(X^2):

E(X^2) = ∑ (X_i^2 * P_i)

E(X^2) = ((-2)^2 * 0.01) + ((-1)^2 * 0.06) + (0^2 * 0.21) + (1^2 * 0.36) + (2^2 * 0.36)

E(X^2) = (4 * 0.01) + (1 * 0.06) + (0 * 0.21) + (1 * 0.36) + (4 * 0.36)

E(X^2) = 0.04 + 0.06 + 0 + 0.36 + 1.44

E(X^2) = 1.90

Теперь вычислим D(X):

D(X) = 1.90 - (1.00)^2

D(X) = 1.90 - 1.00

D(X) = 0.90

5. Среднее квадратичное отклонение (σ(X)):

σ(X) = √ D(X)

σ(X) = √ 0.90

σ(X) ≈ 0.9487

Ответ:

• Ряд распределения представлен в таблице выше.
• Математическое ожидание: 1.00
• Дисперсия: 0.90
• Среднее квадратичное отклонение: ≈ 0.9487