Задание 8. Найти производную: f(x) = x^7 - 3e^x + 2 sinx - 4x^5 + 8x + 6

Решение:

Для нахождения производной данной функции продифференцируем каждый член по отдельности, используя основные правила дифференцирования:

• Производная \( x^n \) равна \( nx^{n-1} \).
• Производная \( e^x \) равна \( e^x \).
• Производная \( \sin x \) равна \( \cos x \).
• Производная \( cx \) равна \( c \), где \( c \) — константа.
• Производная константы равна 0.

Применяя эти правила:

• Производная \( x^7 \) равна \( 7x^6 \).
• Производная \( -3e^x \) равна \( -3e^x \).
• Производная \( 2\sin x \) равна \( 2\cos x \).
• Производная \( -4x^5 \) равна \( -4 \cdot 5x^4 = -20x^4 \).
• Производная \( 8x \) равна \( 8 \).
• Производная \( 6 \) равна \( 0 \).

Суммируем полученные производные:

\[ f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2\cos x - 20x^4 + 8 \]

Ответ: \( f'(x) = 7x^6 - 3e^x + 2\cos x - 20x^4 + 8 \).