Задание 7. Дано: \( \sin \alpha = \frac{21}{29} \), \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \). Найдите \( \cos \alpha \).

Решение:

Используем основное тригонометрическое тождество: \( \sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1 \).

\[ \cos^2 \alpha = 1 - \sin^2 \alpha \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \left(\frac{21}{29}\right)^2 \]\[ \cos^2 \alpha = 1 - \frac{441}{841} \]\[ \cos^2 \alpha = \frac{841 - 441}{841} \]\[ \cos^2 \alpha = \frac{400}{841} \]

Извлекаем корень:

\[ \cos \alpha = \pm \sqrt{\frac{400}{841}} = \pm \frac{20}{29} \]

Так как \( \frac{\pi}{2} < \alpha < \pi \) (вторая четверть), косинус отрицателен.

Следовательно, \( \cos \alpha = -\frac{20}{29} \).

Ответ: -\(\frac{20}{29}\).