Задание 6. Для функции \(f(x)\) найти первообразную, график которой проходит через точку М: a) \(f(x) = 5x^3 + \frac{1}{3}x + 1, M(-1; 2)\) б) \(f(x) = 10x - 12, M(5; 3)\)

Решение:

а) \(f(x) = 5x^3 + \frac{1}{3}x + 1, M(-1; 2)\)

1. Найдём общую первообразную для \(f(x)\):
2. \( F(x) = \int (5x^3 + \frac{1}{3}x + 1) dx \)
3. \( F(x) = 5 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{1}{3} \cdot \frac{x^2}{2} + x + C \)
4. \( F(x) = \frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^2 + x + C \)
5. Теперь найдём \(C\), используя координаты точки \(M(-1; 2)\), где \(x = -1\) и \(F(x) = 2\):
6. \( 2 = \frac{5}{4}(-1)^4 + \frac{1}{6}(-1)^2 + (-1) + C \)
7. \( 2 = \frac{5}{4} + \frac{1}{6} - 1 + C \)
8. \( 2 = \frac{15}{12} + \frac{2}{12} - \frac{12}{12} + C \)
9. \( 2 = \frac{5}{12} + C \)
10. \( C = 2 - \frac{5}{12} = \frac{24}{12} - \frac{5}{12} = \frac{19}{12} \)
11. Таким образом, искомая первообразная: \( F(x) = \frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^2 + x + \frac{19}{12} \)

б) \(f(x) = 10x - 12, M(5; 3)\)

1. Найдём общую первообразную для \(f(x)\):
2. \( F(x) = \int (10x - 12) dx \)
3. \( F(x) = 10 \cdot \frac{x^2}{2} - 12x + C \)
4. \( F(x) = 5x^2 - 12x + C \)
5. Теперь найдём \(C\), используя координаты точки \(M(5; 3)\), где \(x = 5\) и \(F(x) = 3\):
6. \( 3 = 5(5)^2 - 12(5) + C \)
7. \( 3 = 5(25) - 60 + C \)
8. \( 3 = 125 - 60 + C \)
9. \( 3 = 65 + C \)
10. \( C = 3 - 65 = -62 \)
11. Таким образом, искомая первообразная: \( F(x) = 5x^2 - 12x - 62 \)

Ответ: а) \(F(x) = \frac{5}{4}x^4 + \frac{1}{6}x^2 + x + \frac{19}{12}\); б) \(F(x) = 5x^2 - 12x - 62\).