Задание 1. Решить иррациональные уравнения: a) \(\sqrt{x-2}=4\) б) \(\sqrt{3x^2+5x-1}=3x\)

Решение:

а) \(\sqrt{x-2}=4\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x-2})^2 = 4^2 \)
2. Получим: \( x-2 = 16 \)
3. Решим полученное линейное уравнение: \( x = 16 + 2 \)
4. \( x = 18 \)
5. Проверка: \( \sqrt{18-2} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.

б) \(\sqrt{3x^2+5x-1}=3x\)

1. Для начала наложим ограничения: \( 3x^2+5x-1 \ge 0 \) и \( 3x \ge 0 \), что означает \( x \ge 0 \).
2. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{3x^2+5x-1})^2 = (3x)^2 \)
3. Получим: \( 3x^2+5x-1 = 9x^2 \)
4. Перенесём всё в одну сторону: \( 9x^2 - 3x^2 - 5x + 1 = 0 \)
5. \( 6x^2 - 5x + 1 = 0 \)
6. Решим полученное квадратное уравнение. Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 6 \cdot 1 = 25 - 24 = 1 \).
7. Найдем корни: \( x_1 = \frac{-(-5) + \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5+1}{12} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2} \)
8. \( x_2 = \frac{-(-5) - \sqrt{1}}{2 \cdot 6} = \frac{5-1}{12} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \)
9. Проверим полученные корни с учётом ограничения \( x \ge 0 \). Оба корня \( \frac{1}{2} \) и \( \frac{1}{3} \) удовлетворяют условию.
10. Проверим подстановкой в исходное уравнение:
11. Для \( x = \frac{1}{2} \): \( \sqrt{3(\frac{1}{2})^2 + 5(\frac{1}{2}) - 1} = \sqrt{3(\frac{1}{4}) + \frac{5}{2} - 1} = \sqrt{\frac{3}{4} + \frac{10}{4} - \frac{4}{4}} = \sqrt{\frac{9}{4}} = \frac{3}{2} \). И \( 3x = 3 \cdot \frac{1}{2} = \frac{3}{2} \). Равно.
12. Для \( x = \frac{1}{3} \): \( \sqrt{3(\frac{1}{3})^2 + 5(\frac{1}{3}) - 1} = \sqrt{3(\frac{1}{9}) + \frac{5}{3} - 1} = \sqrt{\frac{1}{3} + \frac{5}{3} - \frac{3}{3}} = \sqrt{\frac{3}{3}} = \sqrt{1} = 1 \). И \( 3x = 3 \cdot \frac{1}{3} = 1 \). Равно.

Ответ: а) 18; б) \(\frac{1}{2}, \frac{1}{3}\).