Задание 6 (4 балла) В медном проводе с площадью поперечного сечения 0,3 мм² скорость упорядоченного движения электронов равна 0,06 мм/с. Найдите силу тока в проводе, считая, что на каждый ион меди приходится два электрона проводимости.

Решение:

Сила тока \( I \) в проводнике определяется формулой:

\[ I = nqS v \]

где \( n \) — концентрация носителей заряда (число электронов в единице объема), \( q \) — заряд носителя (для электрона \( q = e \)), \( S \) — площадь поперечного сечения проводника, \( v \) — скорость упорядоченного движения носителей заряда.

По условию, на каждый ион меди приходится два электрона проводимости. Это означает, что концентрация электронов \( n \) равна удвоенной концентрации ионов меди. Однако, так как нам не дана концентрация ионов меди, и сказано «на каждый ион меди приходится два электрона», это может означать, что в данном контексте \( n \) — это концентрация электронов, и нам нужно использовать только её. Если предположить, что "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости" означает, что концентрация электронов в 2 раза больше концентрации атомов меди, но нам не дано ни то, ни другое, то мы можем предположить, что \( n \) — это концентрация свободных электронов, которую нужно найти. Однако, если исходить из того, что фраза "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости" намекает на концентрацию, мы не можем её вычислить без плотности и молярной массы меди.

Будем исходить из того, что нам дано, и предполагать, что \( n \) — это концентрация электронов, которую мы можем вычислить, если знаем плотность и молярную массу меди, и число Авогадро. Однако, эти данные отсутствуют.

Если предположить, что под "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости" имеется в виду, что концентрация электронов \( n \) связана с концентрацией атомов меди, и нам нужно найти \( n \), но без дополнительных данных это невозможно.

Давайте пересмотрим условие. Если предположить, что "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости" — это некорректная формулировка, и нам просто нужно найти силу тока, имея скорость электронов, их заряд и площадь, то задача решается. Но если трактовать условие буквально, то без данных о меди (плотность, молярная масса, число Авогадро) решить задачу невозможно.

Предположим, что в условии подразумевается, что концентрация электронов \( n \) является некоторой величиной, которую мы можем найти, или она дана косвенно. Но без дополнительных данных, как, например, плотность меди и молярная масса, мы не можем вычислить \( n \).

Если предположить, что "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости" означает, что нам нужно учитывать молярную массу меди и плотность, чтобы найти концентрацию электронов, то мы не можем решить задачу.

Однако, если предположить, что нам даны все необходимые данные, и мы должны найти \( n \) из какой-то скрытой информации.

Давайте попробуем сделать допущение: если предположить, что "на каждый ион меди" имеется в виду, что концентрация атомов меди соответствует их молярной массе и плотности, и на каждый атом приходится 2 электрона. Но это слишком много допущений.

Исходя из стандартных задач, скорее всего, в условии предполагается, что концентрация электронов \( n \) дана или может быть вычислена. Если ее нет, то задача не решается.

Давайте сделаем самое простое предположение: возможно, под "два электрона проводимости" подразумевается, что \( n \) — это удвоенное число атомов меди в единице объема. Но нам неизвестна плотность меди.

Без концентрации носителей заряда \( n \) (электронов в данном случае) задачу решить невозможно. Плотность меди ≈ 8960 кг/м³, молярная масса меди ≈ 63,5 г/моль. Число Авогадро \( N_A \approx 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1} \).

Концентрация атомов меди \( n_{Cu} = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{8960 \text{ кг/м}³ \cdot 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 8.52 · 10^{28} \text{ м}^{-3} \)

Если на каждый атом меди приходится 2 электрона, то \( n = 2 · n_{Cu} \approx 1.7 · 10^{29} \text{ м}^{-3} \)

Теперь переведем все величины в систему СИ:

\( S = 0.3 \text{ мм}² = 0.3 · 10^{-6} \text{ м}² \)

\( v = 0.06 \text{ мм/с} = 0.06 · 10^{-3} \text{ м/с} \)

\( e = 1.6 · 10^{-19} \text{ Кл} \)

\( n \approx 1.7 · 10^{29} \text{ м}^{-3} \)

\( I = nqSv = (1.7 · 10^{29} \text{ м}^{-3}) · (1.6 · 10^{-19} \text{ Кл}) · (0.3 · 10^{-6} \text{ м}²) · (0.06 · 10^{-3} \text{ м/с}) \)

\( I \approx 1.7 · 1.6 · 0.3 · 0.06 · 10^{(29 - 19 - 6 - 3)} \text{ А} \)

\( I \approx 0.4896 · 10^1 \text{ А} \approx 4.896 \text{ А} \)

Если бы не было фразы "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости", и просто сказано "концентрация электронов n", то задача была бы нерешаема без n.

Примем, что "на каждый ион меди" относится к концентрации свободных электронов, и нам надо вычислить концентрацию меди, а затем умножить на 2.

Плотность меди \( \rho = 8960 · 10^3 \text{ кг/м}³ \)

Молярная масса меди \( M = 0.0635 \text{ кг/моль} \)

Число Авогадро \( N_A \approx 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1} \)

Концентрация атомов меди \( n_{Cu} = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{8960 \text{ кг/м}³ \cdot 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 8.52 · 10^{28} · 10^3 \text{ м}^{-3} = 8.52 · 10^{28} · 10^3 \text{ м}^{-3} = 8.52 · 10^{31} \text{ м}^{-3} \)

Это слишком большая цифра. В СИ плотность меди = 8.96 г/см³ = 8.96 × 10³ кг/м³.

\( n_{Cu} = \frac{8.96 \times 10^3 \text{ кг/м}³ \cdot 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1}}{0.0635 \text{ кг/моль}} \approx 8.52 · 10^{28} · 10^3 \text{ м}^{-3} = 8.52 · 10^{28} \text{ м}^{-3} \)

Опечатка в расчётах. Правильно:

\( n_{Cu} = \frac{8.96 · 10^3 · 6.022 · 10^{23}}{0.0635} \text{ м}^{-3} \approx 8.52 · 10^{28} \text{ м}^{-3} \)

Тогда концентрация электронов \( n = 2 \cdot n_{Cu} = 2 · 8.52 · 10^{28} = 1.704 · 10^{29} \text{ м}^{-3} \)

Теперь вычислим силу тока:

\( I = nqSv \)

\( S = 0.3 \text{ мм}² = 0.3 · 10^{-6} \text{ м}² \)

\( v = 0.06 \text{ мм/с} = 0.06 · 10^{-3} \text{ м/с} \)

\( q = e = 1.6 · 10^{-19} \text{ Кл} \)

\( I = (1.704 · 10^{29} \text{ м}^{-3}) · (1.6 · 10^{-19} \text{ Кл}) · (0.3 · 10^{-6} \text{ м}²) · (0.06 · 10^{-3} \text{ м/с}) \)

\( I \approx 1.704 · 1.6 · 0.3 · 0.06 · 10^{29-19-6-3} \text{ А} \)

\( I \approx 0.490752 · 10^1 \text{ А} \approx 4.91 \text{ А} \)

Округлим до одной значащей цифры, как в скорости:

\( I \approx 5 \text{ А} \)

Если принять, что "два электрона" — это просто число, и нужна только формула, тогда:

\( I = n · (2e) · S · v \) - это неверно, так как \( n \) уже концентрация электронов.

Правильное применение: \( I = n · e · S · v \), где \( n \) — концентрация электронов.

В условии сказано "на каждый ион меди приходится два электрона проводимости". Это значит, что \( n_{электронов} = 2 \cdot n_{ионов меди} \). И нам нужно вычислить \( n_{ионов меди} \) через плотность и молярную массу.

\( \rho = 8.96 · 10^3 \text{ кг/м}³ \)

\( M = 0.0635 \text{ кг/моль} \)

\( N_A = 6.022 · 10^{23} \text{ моль}^{-1} \)

\( n_{Cu} = \frac{\rho N_A}{M} = \frac{8.96 · 10^3 \cdot 6.022 · 10^{23}}{0.0635} \text{ м}^{-3} \approx 8.52 · 10^{28} \text{ м}^{-3} \)

\( n = 2 \cdot n_{Cu} = 1.704 · 10^{29} \text{ м}^{-3} \)

\( I = n · e · S · v \)

\( S = 0.3 · 10^{-6} \text{ м}² \)

\( v = 0.06 · 10^{-3} \text{ м/с} \)

\( e = 1.6 · 10^{-19} \text{ Кл} \)

\( I = (1.704 · 10^{29}) · (1.6 · 10^{-19}) · (0.3 · 10^{-6}) · (0.06 · 10^{-3}) \text{ А} \)

\( I \approx 4.91 \text{ А} \)

Округляя до одной значащей цифры, получаем 5 А.

Ответ: 5 А.