Задание №4. Установите соответствие между задачей и ее ответом. Из точки Р к окружности, с центром в точке О, проведены две касательные РА и РВ. ∠APB = 50°. Найдите ∠OAB.

Краткая запись:

• Угол ∠APB: 50°
• Найти: Угол ∠OAB — ?

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Рассмотрим треугольники РАО и РВО. Они прямоугольные (так как радиус перпендикулярен касательной в точке касания: ∠РАО = ∠РВО = 90°). ОА = ОВ (радиусы), РО — общая гипотенуза. Следовательно, треугольники РАО и РВО равны по гипотенузе и катету.
2. Шаг 2: Из равенства треугольников следует, что ∠APO = ∠BPO = ∠APB / 2 = 50° / 2 = 25°.
3. Шаг 3: Рассмотрим прямоугольный треугольник РАО. Сумма углов в треугольнике равна 180°.
   \( \angle PAO + \angle APO + \angle AOP = 180^{\circ} \)
   \( 90^{\circ} + 25^{\circ} + \angle AOP = 180^{\circ} \)
   \( \angle AOP = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 25^{\circ} = 65^{\circ} \)
4. Шаг 4: Рассмотрим треугольник АОВ. ОА = ОВ (радиусы), поэтому он равнобедренный.
   \( \angle OAB = \angle OBA \)
5. Шаг 5: В треугольнике АОВ:
   \( \angle AOB = 2 \cdot \angle AOP = 2 \cdot 65^{\circ} = 130^{\circ} \) (так как ∠AOB = ∠AOP + ∠BOP, и ∠AOP = ∠BOP).
6. Шаг 6: Найдем угол ∠OAB в равнобедренном треугольнике АОВ:
   \( \angle OAB = (180^{\circ} - \angle AOB) / 2 \)
   \( \angle OAB = (180^{\circ} - 130^{\circ}) / 2 = 50^{\circ} / 2 = 25^{\circ} \)

Ответ: 25