Задание 4. Решить неравенство:

Решение:

Решим неравенство \( \log_{5}(2x-8) \le \log_{5}(10-x) \).

1. Так как основание логарифма \( 5 > 1 \), то функция \( y = \log_{5}(x) \) возрастает. Следовательно, мы можем приравнять аргументы, сохранив знак неравенства: \( 2x - 8 \le 10 - x \).
2. Решим полученное линейное неравенство: \[ 2x + x \le 10 + 8 \] \[ 3x \le 18 \] \[ x \le 6 \]
3. Кроме того, аргументы логарифмов должны быть положительными:
• \( 2x - 8 > 0 \Rightarrow 2x > 8 \Rightarrow x > 4 \)
• \( 10 - x > 0 \Rightarrow 10 > x \Rightarrow x < 10 \)
4. Объединяя все условия, получаем: \( x > 4 \) и \( x < 10 \) и \( x \le 6 \).
5. Таким образом, решение неравенства: \( 4 < x \le 6 \).

Ответ: \( (4; 6] \).