Задание 3. Найти производную функции: a) \(5x^6 + 3x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 11\) б) \(\frac{1}{6}(2x + 4)^4\) в) \(\sqrt{(2x + 1)^2}\)

Решение:

а) \(f(x) = 5x^6 + 3x^5 - \frac{2}{3}x^3 + 4x^2 - 11\)

Используем правило дифференцирования степенной функции \((x^n)' = nx^{n-1}\) и правило линейности производной.

\(f'(x) = (5x^6)' + (3x^5)' - (\frac{2}{3}x^3)' + (4x^2)' - (11)'\)

\(f'(x) = 5 \cdot 6x^{6-1} + 3 \cdot 5x^{5-1} - \frac{2}{3} \cdot 3x^{3-1} + 4 \cdot 2x^{2-1} - 0\)

\(f'(x) = 30x^5 + 15x^4 - 2x^2 + 8x\)

б) \(f(x) = \frac{1}{6}(2x + 4)^4\)

Используем правило дифференцирования сложной функции: \((u^n)' = n u^{n-1} u'\).

Пусть \(u = 2x + 4\), тогда \(u' = 2\).

\(f'(x) = \frac{1}{6} \cdot 4 (2x + 4)^{4-1} \cdot 2\)

\(f'(x) = \frac{8}{6} (2x + 4)^3\)

\(f'(x) = \frac{4}{3} (2x + 4)^3\)

в) \(f(x) = \sqrt{(2x + 1)^2}\)

Упростим выражение: \( \sqrt{(2x + 1)^2} = |2x + 1| \).

Производная от \(|u|\) зависит от знака \(u\).

Если \(2x + 1 > 0\) (то есть \(x > -\frac{1}{2}\)), то \(f(x) = 2x + 1\) и \(f'(x) = 2\).

Если \(2x + 1 < 0\) (то есть \(x < -\frac{1}{2}\)), то \(f(x) = -(2x + 1) = -2x - 1\) и \(f'(x) = -2\).

В точках \(x = -\frac{1}{2}\) производная не существует.

Ответ: а) \(30x^5 + 15x^4 - 2x^2 + 8x\); б) \(\frac{4}{3}(2x + 4)^3\); в) \(2\) при \(x > -\frac{1}{2}\) и \(-2\) при \(x < -\frac{1}{2}\).