Задание 1. Решить иррациональные уравнения: a) \(\(\sqrt{x + 6}\) = 4 б) \(\(\sqrt{x - 2}\) = x - 8

Решение:

а) \(\sqrt{x + 6} = 4\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x + 6})^2 = 4^2 \)
2. Упростим: \( x + 6 = 16 \)
3. Решим линейное уравнение: \( x = 16 - 6 \)
4. \( x = 10 \)
5. Проверим: \( \sqrt{10 + 6} = \sqrt{16} = 4 \). Верно.

б) \(\sqrt{x - 2} = x - 8\)

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x - 2})^2 = (x - 8)^2 \)
2. Упростим: \( x - 2 = x^2 - 16x + 64 \)
3. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 16x - x + 64 + 2 = 0 \)
4. \( x^2 - 17x + 66 = 0 \)
5. Найдём дискриминант: \( D = b^2 - 4ac = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 66 = 289 - 264 = 25 \)
6. Найдём корни: \( x_1 = \frac{17 + \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{17 + 5}{2} = \frac{22}{2} = 11 \)
7. \( x_2 = \frac{17 - \sqrt{25}}{2 \cdot 1} = \frac{17 - 5}{2} = \frac{12}{2} = 6 \)
8. Проверим корни. Для \( x = 11 \): \( \sqrt{11 - 2} = \sqrt{9} = 3 \) и \( 11 - 8 = 3 \). Корень \( x = 11 \) подходит.
9. Для \( x = 6 \): \( \sqrt{6 - 2} = \sqrt{4} = 2 \) и \( 6 - 8 = -2 \). \( 2 \neq -2 \). Корень \( x = 6 \) не подходит (посторонний корень, так как \( x - 8 \) должно быть неотрицательным).

Ответ: а) 10; б) 11.