Задание 3: Докажите, что если две дуги окружности равны и меньше полуокружности, то равны и стягивающие их хорды.

Доказательство:

Рассмотрим две дуги окружности \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{CD} \), которые равны и меньше полуокружности. Пусть \( O \) — центр окружности.

По условию \( \overset{\frown}{AB} = \overset{\frown}{CD} \).

Градусная мера дуги равна градусной мере центрального угла, опирающегося на эту дугу. Следовательно, \( \angle AOB = \angle COD \).

Рассмотрим треугольники \( \triangle AOB \) и \( \triangle COD \).

• \( OA = OC \) (радиусы окружности)
• \( OB = OD \) (радиусы окружности)
• \( \angle AOB = \angle COD \) (как центральные углы, опирающиеся на равные дуги)

По двум сторонам и углу между ними (по первому признаку равенства треугольников), \( \triangle AOB = \triangle COD \).

Из равенства треугольников следует равенство соответствующих сторон: \( AB = CD \).

Хорды \( AB \) и \( CD \) стягивают равные дуги \( \overset{\frown}{AB} \) и \( \overset{\frown}{CD} \), поэтому они равны.

Что и требовалось доказать.