Задание 11.4. а) Решите уравнение 3cos2x+11sinx+4=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [7π/2; -2π].

Решение задания 11.4:

а) Решение уравнения:

Дано уравнение: $$3\[cos(2x) + 11\[sin(x) + 4 = 0\)$$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $$cos(2x) = 1 - 2\[sin^2x\)$$. Подставим в уравнение:

$$3(1 - 2\[sin^2x\) + 11\[sin(x) + 4 = 0$$

$$3 - 6\[sin^2x + 11\[sin(x) + 4 = 0$$

$$-6\[sin^2x + 11\[sin(x) + 7 = 0$$

Умножим на -1:

$$6\[sin^2x - 11\[sin(x) - 7 = 0$$

Сделаем замену: пусть $$t = sin(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$6t^2 - 11t - 7 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-11)^2 - 4(6)(-7) = 121 + 168 = 289$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{11 + \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 + 17}{12} = \frac{28}{12} = \frac{7}{3}$$

$$t_2 = \frac{11 - \sqrt{289}}{2 \cdot 6} = \frac{11 - 17}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$sin(x) = 7/3$$. Это значение больше 1, поэтому решений нет.

2) $$sin(x) = -1/2$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[7\pi/2; -2\pi]$$.

Отрезок $$[7\pi/2; -2\pi]$$ следует понимать как $$[-2\pi; 7\pi/2]$$, так как первый элемент меньше второго. Отрезок соответствует примерно $$[-6.28; 10.99]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 1$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{11\pi}{6} ≈ 5.76$$ (принадлежит отрезку).

При $$n = 2$$, $$x = -\frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{23\pi}{6} ≈ 12.04$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 0$$, $$x = -\frac{\pi}{6} ≈ -0.52$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = -1$$, $$x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6} ≈ -6.81$$ (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = \frac{7\pi}{6} ≈ 3.66$$ (принадлежит отрезку).

При $$n = 1$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi = \frac{19\pi}{6} ≈ 9.95$$ (принадлежит отрезку).

При $$n = 2$$, $$x = \frac{7\pi}{6} + 4\pi = \frac{31\pi}{6} ≈ 16.23$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = -1$$, $$x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6} ≈ -2.62$$ (принадлежит отрезку).

При $$n = -2$$, $$x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6} ≈ -8.90$$ (не принадлежит отрезку).

Ответ: а) $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число. б) $$11\pi/6$$, $$7\pi/6$$, $$19\pi/6$$, $$-5\pi/6$$.