Задание 11.2. а) Решите уравнение 3cos2x+7sinx+2=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [-5π/2; -2].

Решение задания 11.2:

а) Решение уравнения:

Дано уравнение: $$3\[cos(2x) + 7\[sin(x) + 2 = 0\)$$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $$cos(2x) = 1 - 2\[sin^2x\)$$. Подставим в уравнение:

$$3(1 - 2\[sin^2x\) + 7\[sin(x) + 2 = 0$$

$$3 - 6\[sin^2x + 7\[sin(x) + 2 = 0$$

$$-6\[sin^2x + 7\[sin(x) + 5 = 0$$

Умножим на -1:

$$6\[sin^2x - 7\[sin(x) - 5 = 0$$

Сделаем замену: пусть $$t = sin(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$6t^2 - 7t - 5 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = (-7)^2 - 4(6)(-5) = 49 + 120 = 169$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{7 + \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 + 13}{12} = \frac{20}{12} = \frac{5}{3}$$

$$t_2 = \frac{7 - \sqrt{169}}{2 \cdot 6} = \frac{7 - 13}{12} = \frac{-6}{12} = -\frac{1}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$sin(x) = 5/3$$. Это значение больше 1, поэтому решений нет.

2) $$sin(x) = -1/2$$

$$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \pi - (-\frac{\pi}{6}) + 2\pi n = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[-5\pi/2; -2]$$.

Отрезок $$[-5\pi/2; -2]$$ соответствует примерно $$[-7.85; -2]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = -\frac{\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = -1$$, $$x = -\frac{\pi}{6} - 2\pi = -\frac{13\pi}{6}$$.

Сравним $$-13\pi/6$$ с $$-5\pi/2$$ и $$-2$$. $$-13/6 \approx -2.17$$. $$-5/2 = -2.5$$. $$-2$$. Значение $$-13\pi/6$$ принадлежит отрезку.

При $$n = -2$$, $$x = -\frac{\pi}{6} - 4\pi = -\frac{25\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = -1$$, $$x = \frac{7\pi}{6} - 2\pi = -\frac{5\pi}{6}$$.

$$-5\pi/6 \approx -2.62$$. Это значение не принадлежит отрезку.

При $$n = -2$$, $$x = \frac{7\pi}{6} - 4\pi = -\frac{17\pi}{6}$$.

$$-17\pi/6 \approx -8.9$$. Это значение не принадлежит отрезку.

Ответ: а) $$x = -\frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{7\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число. б) $$-13\pi/6$$.