Задание 11.1. а) Решите уравнение 2cos2x-8sinx+3=0 б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку [3π/2; 3π].

Решение задания 11.1:

а) Решение уравнения:

Дано уравнение: $$2\[cos(2x) - 8\[sin(x) + 3 = 0\)$$.

Используем формулу косинуса двойного угла: $$cos(2x) = 1 - 2\[sin^2x\)$$. Подставим в уравнение:

$$2(1 - 2\[sin^2x\) - 8\[sin(x) + 3 = 0$$

$$2 - 4\[sin^2x - 8\[sin(x) + 3 = 0$$

$$-4\[sin^2x - 8\[sin(x) + 5 = 0$$

Умножим на -1:

$$4\[sin^2x + 8\[sin(x) - 5 = 0$$

Сделаем замену: пусть $$t = sin(x)$$. Получим квадратное уравнение:

$$4t^2 + 8t - 5 = 0$$

Найдем дискриминант: $$D = 8^2 - 4(4)(-5) = 64 + 80 = 144$$.

Найдем корни $$t$$:

$$t_1 = \frac{-8 + \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 + 12}{8} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$$

$$t_2 = \frac{-8 - \sqrt{144}}{2 \cdot 4} = \frac{-8 - 12}{8} = \frac{-20}{8} = -\frac{5}{2}$$

Вернемся к замене:

1) $$sin(x) = 1/2$$

$$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \pi - \frac{\pi}{6} + 2\pi n = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число.

2) $$sin(x) = -5/2$$. Это значение меньше -1, поэтому решений нет.

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $$[3\pi/2; 3\pi]$$.

Рассмотрим первую серию корней: $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = \frac{\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 1$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi = \frac{13\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{13\pi}{6}$$ с $$3\pi/2$$ и $$3\pi$$. $$13/6 \approx 2.17$$. $$3/2 = 1.5$$. $$3$$. Значение $$13\pi/6$$ принадлежит отрезку.

При $$n = 2$$, $$x = \frac{\pi}{6} + 4\pi = \frac{25\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

Рассмотрим вторую серию корней: $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$.

При $$n = 0$$, $$x = \frac{5\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

При $$n = 1$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi = \frac{17\pi}{6}$$.

Сравним $$\frac{17\pi}{6}$$ с $$3\pi/2$$ и $$3\pi$$. $$17/6 \approx 2.83$$. $$3/2 = 1.5$$. $$3$$. Значение $$17\pi/6$$ принадлежит отрезку.

При $$n = 2$$, $$x = \frac{5\pi}{6} + 4\pi = \frac{29\pi}{6}$$ (не принадлежит отрезку).

Ответ: а) $$x = \frac{\pi}{6} + 2\pi n$$ или $$x = \frac{5\pi}{6} + 2\pi n$$, где $$n$$ - целое число. б) $$13\pi/6$$, $$17\pi/6$$.