Задание 1 (26 баллов). Разложите на множители: a) 81x6 – 0,0016y4 (8 баллов); 6) 9/16 x² + 18xy⁴ + 144y⁸ (8 баллов); в) х⁴ – 2x² – 8 (10 баллов).

Задание 1

а) Разложение на множители:

Выражение: \[ 81x^6 - 0.0016y^4 \]

Это разность квадратов, где $$a = 9x^3$$ и $$b = 0.04y^2$$.

\[ (9x^3 - 0.04y^2)(9x^3 + 0.04y^2) \]

Можно также представить $$0.04$$ как дробь $$\frac{4}{100} = \frac{1}{25}$$:

\[ (9x^3 - \frac{1}{25}y^2)(9x^3 + \frac{1}{25}y^2) \]

б) Разложение на множители:

Выражение: \[ \frac{9}{16}x^2 + 18xy^4 + 144y^8 \]

Это квадрат суммы, где $$a = \frac{3}{4}x$$ и $$b = 12y^4$$. Проверим: $$2ab = 2 \times \frac{3}{4}x \times 12y^4 = \frac{3}{2}x \times 12y^4 = 18xy^4$$. Это соответствует среднему члену.

\[ (\frac{3}{4}x + 12y^4)^2 \]

в) Разложение на множители:

Выражение: \[ x^4 - 2x^2 - 8 \]

Сделаем замену переменной: пусть $$t = x^2$$. Тогда выражение станет квадратным трехчленом:

\[ t^2 - 2t - 8 \]

Найдем корни этого квадратного уравнения. Дискриминант $$D = (-2)^2 - 4(1)(-8) = 4 + 32 = 36$$.

Корни: $$t_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 + 6}{2} = 4$$ и $$t_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2(1)} = \frac{2 - 6}{2} = -2$$.

Таким образом, $$t^2 - 2t - 8 = (t - 4)(t - (-2)) = (t - 4)(t + 2)$$.

Вернемся к замене $$t = x^2$$:

\[ (x^2 - 4)(x^2 + 2) \]

Первый множитель ($$x^2 - 4$$) можно разложить как разность квадратов ($$x-2)(x+2)$$.

\[ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2) \]

Ответ:

а) \[ (9x^3 - 0.04y^2)(9x^3 + 0.04y^2) \] или \[ (9x^3 - \frac{1}{25}y^2)(9x^3 + \frac{1}{25}y^2) \]

б) \[ (\frac{3}{4}x + 12y^4)^2 \]

в) \[ (x - 2)(x + 2)(x^2 + 2) \]