Задание 5. В треугольнике MNF известно, что ZN = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD – биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

Задание 5. В треугольнике MNF известно, что ∠N = 90°, ∠M = 30°, отрезок FD – биссектриса треугольника. Найдите катет MN, если FD = 20 см.

В треугольнике MNF: ∠F = 180° - ∠M - ∠N = 180° - 30° - 90° = 60°.

FD – биссектриса ∠F, значит, ∠MFD = ∠DFN = ∠F : 2 = 60° : 2 = 30°.

Рассмотрим треугольник DFN. В нем ∠N = 90°, ∠DFN = 30°, значит, ∠FDN = 180° - ∠N - ∠DFN = 180° - 90° - 30° = 60°.

В треугольнике DFN: sin ∠DFN = DN : FD. DN = FD × sin ∠DFN = 20 × sin 30° = 20 × 0,5 = 10 см.

В треугольнике MDF: ∠M = ∠MFD = 30°, значит, треугольник MDF – равнобедренный, MD = DF = 20 см.

MN = MD + DN = 20 + 10 = 30 см.

Ответ: MN = 30 см.