Задание №7: В параллелограмме ABCD со сторонами AB = 4 и BC = 3 и диагональю AC = 6 диагонали пересекаются в точке O. Найдите длину вектора \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}\)

В параллелограмме диагонали делятся пополам точкой пересечения. Значит, \(\overrightarrow{AO} = \frac{1}{2} \overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BO} = -\frac{1}{2} \overrightarrow{BD}\). Тогда \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} = \frac{1}{2} (\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{BD})\). Пусть M - середина AC и BD. Тогда \(\overrightarrow{AC}\) и \(\overrightarrow{BD}\) - диагонали параллелограмма. В параллелограмме \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO} = \overrightarrow{BA} + \overrightarrow{AO} = \overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BA}\). Таким образом, \(\overrightarrow{AO} + \overrightarrow{BO}\) - средняя линия треугольника ABC, следовательно её длина равна половине длины AC, т.е. AC = 6. Поэтому 1/2АС = 3. Ответ: 3.