Задание 3. Точки Е и F – середины сторон ВС и CD квадрата ABCD. Отрезки АЕ и BF пересекаются в точке К. Что больше: площадь треугольника AKF или площадь четырехугольника KECF?

Обозначим сторону квадрата ABCD как a. Тогда площадь квадрата равна a².

Так как E и F – середины сторон, то BE = EC = CF = FD = a/2.

Площадь треугольника ABE равна \[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BE = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}\]

Площадь треугольника BCF равна \[\frac{1}{2} \cdot BC \cdot CF = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}\]

Площадь треугольника ADF равна \[\frac{1}{2} \cdot AD \cdot DF = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \frac{a}{2} = \frac{a^2}{4}\]

Сумма площадей этих трех треугольников равна \[\frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} + \frac{a^2}{4} = \frac{3a^2}{4}\]

Площадь треугольника ABF равна \[\frac{1}{2} \cdot AB \cdot BF = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{BC^2 + CF^2} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot \sqrt{a^2 + (\frac{a}{2})^2} = \frac{a^2\sqrt{5}}{4}\]

Площадь треугольника AEF равна площади квадрата минус сумма площадей треугольников ABE, BCF и ADF:

\[a^2 - \frac{3a^2}{4} = \frac{a^2}{4}\]

Площадь четырехугольника KECF равна площади треугольника BCF минус площадь треугольника BEK.

Площадь треугольника AKF можно найти, вычитая из площади треугольника ABF площадь треугольника BEK.

Поскольку площади треугольников ABE и BCF равны, то площади AKF и KECF равны.

Ответ: Площади треугольника AKF и четырехугольника KECF равны.

Проверка за 10 секунд: Из-за симметрии в квадрате, площади треугольника и четырехугольника будут равны.

Доп. профит: Уровень Эксперт. При решении задач на геометрию полезно рассматривать симметрию фигур и разбивать сложные фигуры на более простые для нахождения площадей.