Задание 6. Разность катетов прямоугольного треугольника равна 23см, а его гипотенуза равна 37см. Найдите катеты треугольника.

Пусть a и b - катеты прямоугольного треугольника, c - гипотенуза.

Дано: $$a - b = 23$$ и $$c = 37$$.

По теореме Пифагора, $$a^2 + b^2 = c^2$$.

Выразим a через b: $$a = b + 23$$.

Подставим это выражение в теорему Пифагора:

$$(b + 23)^2 + b^2 = 37^2$$

$$b^2 + 46b + 529 + b^2 = 1369$$

$$2b^2 + 46b - 840 = 0$$

$$b^2 + 23b - 420 = 0$$

Решим квадратное уравнение:

$$D = b^2 - 4ac = 23^2 - 4 \times 1 \times (-420) = 529 + 1680 = 2209 = 47^2$$

Корни уравнения:

$$b_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 + 47}{2} = \frac{24}{2} = 12$$

$$b_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-23 - 47}{2} = \frac{-70}{2} = -35$$

Так как длина катета не может быть отрицательной, то b = 12.

Найдем a: $$a = b + 23 = 12 + 23 = 35$$.

Таким образом, длины катетов: a = 35 см и b = 12 см.

Ответ: 35 см, 12 см