Задание 2. Найти производные функций. 1. a) y = xtgx+Incosx+e5*;. 6) y = ex-arcsin x 2. a) y=lnx² / x+1+3x√x;. 6) y = 2arotgx-x²;. 3. a) y = x²+xarcsinx+√1-x²; ;. 6) y=2⁵+¹/x. 4. a) y= ln(x-1)² / x+2+3√x²;. 6) y = 2sinx. 5. a) y=lnx² / x-1+4x√x;. 6) y = (esinx +3x)³. 6. a) y = x³(3lnx-1)-x+1/e;. 6) y = (5tg2x +3)⁴. 7. a) y = ln(x+1)² / x+3+3x√x;. 6) y = 5arcsin x² 8. a) y=es (5x-1)-2lnx+1/7;. 6) y = 4arctg3/x. 9. a) y = ln(x+1)² / x-2-√4-x²;. 6) y = 2sin³/x. 10. a) y = lnx-1+(e³x-7x⁹)(3x-1); 6) y = 3cos²4x

Привет! Давай найдем производные этих функций. Это отличная практика! 1. a) \(y = x \tan(x) + \ln(\cos(x)) + e^{5x}\) Найдем производную каждого слагаемого: \[y' = (x \tan(x))' + (\ln(\cos(x)))' + (e^{5x})'\] \[y' = \tan(x) + x \sec^2(x) - \frac{\sin(x)}{\cos(x)} + 5e^{5x}\] \[y' = \tan(x) + x \sec^2(x) - \tan(x) + 5e^{5x}\] \[y' = x \sec^2(x) + 5e^{5x}\] Ответ: \(y' = x \sec^2(x) + 5e^{5x}\) 6) \(y = e^{x - \arcsin(x)}\) \[y' = e^{x - \arcsin(x)} \cdot (x - \arcsin(x))'\] \[y' = e^{x - \arcsin(x)} \cdot \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\] Ответ: \(y' = e^{x - \arcsin(x)} \left(1 - \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}\right)\) 2. a) \(y = \ln\left(\frac{x^2}{x + 1}\right) + 3x\sqrt{x}\) \[y = \ln(x^2) - \ln(x + 1) + 3x^{\frac{3}{2}}\] \[y' = \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x + 1} + 3 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\] \[y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{9}{2} \sqrt{x}\] Ответ: \(y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x + 1} + \frac{9}{2} \sqrt{x}\) 6) \(y = 2^{\arctan(x) - x^2}\) \[y' = 2^{\arctan(x) - x^2} \ln(2) \cdot (\arctan(x) - x^2)'\] \[y' = 2^{\arctan(x) - x^2} \ln(2) \cdot \left(\frac{1}{1 + x^2} - 2x\right)\] Ответ: \(y' = 2^{\arctan(x) - x^2} \ln(2) \left(\frac{1}{1 + x^2} - 2x\right)\) 3. a) \(y = x^2 + x \arcsin(x) + \sqrt{1 - x^2}\) \[y' = 2x + \arcsin(x) + x \cdot \frac{1}{\sqrt{1 - x^2}} + \frac{-2x}{2\sqrt{1 - x^2}}\] \[y' = 2x + \arcsin(x) + \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}} - \frac{x}{\sqrt{1 - x^2}}\] \[y' = 2x + \arcsin(x)\] Ответ: \(y' = 2x + \arcsin(x)\) 6) \(y = 2^{5 + \frac{1}{x}}\) \[y' = 2^{5 + \frac{1}{x}} \ln(2) \cdot \left(5 + \frac{1}{x}\right)'\] \[y' = 2^{5 + \frac{1}{x}} \ln(2) \cdot \left(-\frac{1}{x^2}\right)\] Ответ: \(y' = -\frac{2^{5 + \frac{1}{x}} \ln(2)}{x^2}\) 4. a) \(y = \ln\left(\frac{(x - 1)^2}{x + 2}\right) + 3\sqrt{x^2}\) \[y = \ln((x - 1)^2) - \ln(x + 2) + 3|x|\] \[y' = \frac{2(x - 1)}{(x - 1)^2} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3x}{|x|}\] \[y' = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3x}{|x|}\] Ответ: \(y' = \frac{2}{x - 1} - \frac{1}{x + 2} + \frac{3x}{|x|}\) 6) \(y = 2^{\sin(x)}\) \[y' = 2^{\sin(x)} \ln(2) \cdot \cos(x)\] Ответ: \(y' = 2^{\sin(x)} \ln(2) \cos(x)\) 5. a) \(y = \ln\left(\frac{x^2}{x - 1}\right) + 4x\sqrt{x}\) \[y = \ln(x^2) - \ln(x - 1) + 4x^{\frac{3}{2}}\] \[y' = \frac{2x}{x^2} - \frac{1}{x - 1} + 4 \cdot \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}\] \[y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + 6\sqrt{x}\] Ответ: \(y' = \frac{2}{x} - \frac{1}{x - 1} + 6\sqrt{x}\) 6) \(y = (e^{\sin(x)} + 3x)^3\) \[y' = 3(e^{\sin(x)} + 3x)^2 \cdot (e^{\sin(x)} \cos(x) + 3)\] Ответ: \(y' = 3(e^{\sin(x)} + 3x)^2 (e^{\sin(x)} \cos(x) + 3)\) 6. a) \(y = x^3(3\ln(x) - 1) - \frac{x + 1}{e}\) \[y' = 3x^2(3\ln(x) - 1) + x^3 \cdot \frac{3}{x} - \frac{1}{e}\] \[y' = 9x^2 \ln(x) - 3x^2 + 3x^2 - \frac{1}{e}\] \[y' = 9x^2 \ln(x) - \frac{1}{e}\] Ответ: \(y' = 9x^2 \ln(x) - \frac{1}{e}\) 6) \(y = (5^{\tan(2x)} + 3)^4\) \[y' = 4(5^{\tan(2x)} + 3)^3 \cdot (5^{\tan(2x)} \ln(5) \cdot 2\sec^2(2x))\] Ответ: \(y' = 8 \ln(5) (5^{\tan(2x)} + 3)^3 5^{\tan(2x)} \sec^2(2x)\) 7. a) \(y = \ln\left(\frac{(x + 1)^2}{x + 3}\right) + 3x\sqrt{x}\) \[y = 2\ln(x + 1) - \ln(x + 3) + 3x^{\frac{3}{2}}\] \[y' = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} + \frac{9}{2}\sqrt{x}\] Ответ: \(y' = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x + 3} + \frac{9}{2}\sqrt{x}\) 6) \(y = 5^{\arcsin(x^2)}\) \[y' = 5^{\arcsin(x^2)} \ln(5) \cdot \frac{2x}{\sqrt{1 - x^4}}\] Ответ: \(y' = \frac{2x \ln(5) 5^{\arcsin(x^2)}}{\sqrt{1 - x^4}}\) 8. a) \(y = e^{5x}(5x - 1) - \frac{2\ln(x) + 1}{7}\) \[y' = 5e^{5x}(5x - 1) + e^{5x} \cdot 5 - \frac{2}{7x}\] \[y' = 25xe^{5x} - 5e^{5x} + 5e^{5x} - \frac{2}{7x}\] \[y' = 25xe^{5x} - \frac{2}{7x}\] Ответ: \(y' = 25xe^{5x} - \frac{2}{7x}\) 6) \(y = 4^{\arctan(\frac{3}{x})}\) \[y' = 4^{\arctan(\frac{3}{x})} \ln(4) \cdot \frac{1}{1 + (\frac{3}{x})^2} \cdot \left(-\frac{3}{x^2}\right)\] \[y' = -\frac{3 \ln(4) \cdot 4^{\arctan(\frac{3}{x})}}{x^2 + 9}\] Ответ: \(y' = -\frac{3 \ln(4) \cdot 4^{\arctan(\frac{3}{x})}}{x^2 + 9}\) 9. a) \(y = \ln\left(\frac{(x + 1)^2}{x - 2}\right) - \sqrt{4 - x^2}\) \[y = 2\ln(x + 1) - \ln(x - 2) - \sqrt{4 - x^2}\] \[y' = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}\] Ответ: \(y' = \frac{2}{x + 1} - \frac{1}{x - 2} + \frac{x}{\sqrt{4 - x^2}}\) 6) \(y = 2^{\sin^3(x)}\) \[y' = 2^{\sin^3(x)} \ln(2) \cdot 3\sin^2(x) \cos(x)\] Ответ: \(y' = 3 \ln(2) \cos(x) \sin^2(x) 2^{\sin^3(x)}\) 10. a) \(y = \ln(x) - 1 + (e^{3x} - 7x^9)(3x - 1)\) \[y' = \frac{1}{x} + (3e^{3x} - 63x^8)(3x - 1) + (e^{3x} - 7x^9) \cdot 3\] \[y' = \frac{1}{x} + 9xe^{3x} - 3e^{3x} - 189x^9 + 63x^8 + 3e^{3x} - 21x^9\] \[y' = \frac{1}{x} + 9xe^{3x} - 210x^9 + 63x^8\] Ответ: \(y' = \frac{1}{x} + 9xe^{3x} - 210x^9 + 63x^8\) 6) \(y = 3^{\cos^2(4x)}\) \[y' = 3^{\cos^2(4x)} \ln(3) \cdot 2\cos(4x) \cdot (-4\sin(4x))\] \[y' = -8 \ln(3) \sin(4x) \cos(4x) 3^{\cos^2(4x)}\]

Ответ: xsec²(x) + 5e^(5x), e^(x - arcsin(x)) (1 - 1/√(1 - x²)), 2/x - 1/(x + 1) + 9/2√x, 2^(arctan(x) - x²) ln(2) (1/(1 + x²) - 2x), 2x + arcsin(x), -(2^(5 + 1/x) ln(2))/x², 2/(x - 1) - 1/(x + 2) + (3x)/|x|, 2^(sin(x)) ln(2) cos(x), 2/x - 1/(x - 1) + 6√x, 3 (e^(sin(x)) + 3x)² (e^(sin(x)) cos(x) + 3), 9 x² ln(x) - 1/e, 8 ln(5) (5^(tan(2 x)) + 3)³ 5^(tan(2 x)) sec²(2 x), 2/(x + 1) - 1/(x + 3) + 9/2 √x, (2 x ln(5) 5^(arcsin(x²)))/√(1 - x⁴), 25 x e^(5 x) - 2/(7 x), (-3 ln(4) 4^(arctan(3/x)))/(x² + 9), 2/(x + 1) - 1/(x - 2) + x/√(4 - x²), 3 ln(2) cos(x) sin²(x) 2^(sin³(x)), 1/x + 9 x e^(3 x) - 210 x⁹ + 63 x⁸, -8 ln(3) sin(4 x) cos(4 x) 3^(cos²(4 x))

Ты проделал огромную работу! Все эти производные теперь тебе по плечу. Продолжай практиковаться, и ты станешь настоящим мастером!