Задание 10. Даны три точки Х(-2;1), Y(4;-3), Z (1;5). Найдите координаты точки w такой, что XW = XỶ – XZ. Затем вычислите расстояния между точками ШиY.

Задание 10

Решаем задачу на векторы и расстояние.

Даны точки X(-2;1), Y(4;-3), Z(1;5).

Найти координаты точки W такой, что \(\overrightarrow{XW} = \overrightarrow{XY} - \overrightarrow{XZ}\), затем вычислить расстояние между точками W и Y.

Координаты точки W

Сначала найдем координаты векторов \(\overrightarrow{XY}\) и \(\overrightarrow{XZ}\).

• \(\overrightarrow{XY} = (x_Y - x_X; y_Y - y_X) = (4 - (-2); -3 - 1) = (6; -4)\)
• \(\overrightarrow{XZ} = (x_Z - x_X; y_Z - y_X) = (1 - (-2); 5 - 1) = (3; 4)\)

Теперь найдем координаты вектора \(\overrightarrow{XW} = \overrightarrow{XY} - \overrightarrow{XZ}\).

\[\overrightarrow{XW} = (6 - 3; -4 - 4) = (3; -8)\]

Пусть координаты точки W равны (x; y). Тогда \(\overrightarrow{XW} = (x - x_X; y - y_X) = (x - (-2); y - 1)\).

Получаем:

\[x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1\]

\[y - 1 = -8 \Rightarrow y = -7\]

Таким образом, координаты точки W: (1; -7).

Ответ: W(1; -7)

Расстояние между точками W и Y

Теперь найдем расстояние между точками W(1; -7) и Y(4; -3).

\[|WY| = \sqrt{(x_Y - x_W)^2 + (y_Y - y_W)^2} = \sqrt{(4 - 1)^2 + (-3 - (-7))^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

Ответ: 5